Данный онлайн калькулятор решает систему линейных уравнений матричным методом. Дается очень подробное решение. Для решения системы линейных уравнений выберите количество переменных. Выбирайте метод вычисления обратной матрицы. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку "Вычислить".

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

Учитывая определение обратной матрицы, имеем A −1 A =E , где E - единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так:

Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A матрицу на вектор ограничений b .

Примеры решения системы линейных уравнений матричным методом

Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

Найдем обратную к матрице A методом Жордана-Гаусса. С правой стороны матрицы A запишем единичную матрицу:

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/3,-1/3 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -24/51:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/17:

Отделяем правую часть матрицы. Полученная матрица является обратной матрицей к A :

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b , где

Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A :

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Обратная матрица вычисляется из следующего выражения.

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Определение 1

Метод обратной матрицы - это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Пример 1

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи : А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n - матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A - 1:

A - 1 × A × X = A - 1 × B .

Так как А - 1 × А = Е, то Е × X = А - 1 × В или X = А - 1 × В.

Замечание

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю. Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А.

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю, у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Пример 2

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Как решить?

• Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

• Выражаем из этого уравнения X:

• Находим определитель матрицы А:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t А не равняется 0, следовательно для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

• Находим обратную матрицу А - 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А:

А 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6 ,

А 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7 ,

А 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5 ,

А 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17 ,

А 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1 ,

А 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10 ,

А 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10 ,

А 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5 ,

А 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0 .

• Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А:

А * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A - 1 = 1 d e t A (A *) T: А - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,

• Умножаем обратную матрицу А - 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Ответ : x 1 = - 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Метод обратной матрицы не представляет ничего сложного, если знать общие принципы работы с матричными уравнениями и, конечно, уметь производить элементарные алгебраические действия.

Решение системы уравнений методом обратной матрицы. Пример.

Удобнее всего постигать метод обратной матрицы на наглядном примере. Возьмем систему уравнений:

Первый шаг, который необходимо сделать для решения этой системы уравнений - найти определитель. Поэтому преобразим нашу систему уравнений в следующую матрицу:

И найдем нужный определитель:

Формула, использующаяся для решения матричных уравнений, выглядит следующим образом:

Таким образом, для вычисления Х нам необходимо определить значение матрицы А-1 и умножить его на b. В этом нам поможет другая формула:

Ат в данном случае будет транспонированной матрицей - то есть, той же самой, исходной, но записанной не строками, а столбцами.

Не следует забывать о том, что метод обратной матрицы , как и метод Крамера, подходит только для систем, в которых определитель больше или меньше нуля. Если же определитель равен нулю, нужно использовать метод Гаусса.

Следующий шаг - составление матрицы миноров, представляющей собой такую схему:

В итоге мы получили три матрицы - миноров, алгебраических дополнений и транспонированную матрицу алгебраических дополнений. Теперь можно переходить к собственно составлению обратной матрицы. Формулу мы уже знаем. Для нашего примера это будет выглядеть так.

11. Выражение скалярного произведения вектора через координаты сомножителей. Теорема.

12. Длина вектора, длина отрезка, угол между векторами, условие перпендикулярности векторов.

13. Векторное произведение векторов, его свойства. Площадь параллелограмма.

14. Смешанное произведение векторов, его свойства. Условие компланарности вектора. Объем параллелепипеда. Объём пирамиды.

15. Способы задания прямой на плоскости.

16. Нормальное уравнение прямой на плоскости (вывод). Геометрический смысл коэффициентов.

17. Уравнение прямой на плоскости в отрезках (вывод).

Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках.

18. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом (вывод).

19. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки (вывод).

20. Угол между прямыми на плоскости (вывод).

21. Расстояние от точки до прямой на плоскости (вывод).

22. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости (вывод).

23. Уравнение плоскости. Нормальное уравнение плоскости (вывод). Геометрический смысл коэффициентов.

24. Уравнение плоскости в отрезках (вывод).

25. Уравнение плоскости, проходящей через три точки (вывод).

26. Угол между плоскостями (вывод).

27. Расстояние от точки до плоскости (вывод).

28. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей (вывод).

29. Уравнения прямой в r3. Уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки (вывод).

30. Канонические уравнения прямой в пространстве (вывод).

Составление канонических уравнений прямой в пространстве.

Частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой проходящей через две заданные точки пространства.

Переход от канонических уравнений прямой в пространстве к другим видам уравнений прямой.

31. Угол между прямыми (вывод).

32. Расстояние от точки до прямой на плоскости (вывод).

Расстояние от точки до прямой на плоскости – теория, примеры, решения.

Первый способ нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Второй способ, позволяющий найти расстояние от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения.

Первый способ нахождения расстояния от точки до прямойaв пространстве.

Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямойaв пространстве.

33. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

34. Взаимное расположение прямых в пространстве и прямой с плоскостью.

35. Классическое уравнение эллипса (вывод) и его построение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид, где– положительные действительные числа, причём.Как построить эллипс?

36. Классическое уравнение гиперболы (вывод) и его построение. Асимптоты.

37. Каноническое уравнение параболы (вывод) и построение.

38. Функция. Основные определения. Графики основных элементарных функций.

39. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.

40. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Теорема о связи между ними, свойства.

41. Теоремы о действиях над переменными величинами, имеющими конечные пределы.

42. Число e.

Содержание

Способы определения

Свойства

История

Приближения

43. Определение предела функции. Раскрытие неопределённостей.

44. Замечательные пределы, их вывод. Эквивалентные бесконечно малые величины.

Содержание

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

45. Односторонние пределы. Непрерывность и разрывы функции. Односторонние пределы

Левый и правый пределы функции

Точка разрыва первого рода

Точка разрыва второго рода

Точка устранимого разрыва

46. Определение производной. Геометрический смысл, механический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой и точке.

47. Теоремы о производной обратной, сложной функций.

48. Производные простейших элементарных функций.

49. Дифференцирование параметрических, неявных и степенно-показательных функций.

21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

21.1. Неявно заданная функция

21.2. Функция, заданная параметрически

50. Производные высших порядков. Формула Тейлора.

51. Дифференциал. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

52. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

53. Теорема о необходимом и достаточном условиях монотонности функции.

54. Определение максимума, минимума функции. Теоремы о необходимом и достаточном условиях существования экстремума функции.

Теорема (необходимое условие экстремума)

55. Выпуклость и вогнутость кривых. Точки перегиба. Теоремы о необходимом и достаточном условиях существования точек перегиба.

Доказательство

57. Определители n-ого порядка, их свойства.

58. Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы.

Определение

Связанные определения

Свойства

Линейное преобразование и ранг матрицы

59. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.

60. Системы линейных уравнений. Матричное решение систем линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.

Решение систем линейных алгебраических уравнений, методы решения, примеры.

Определения, понятия, обозначения.

Решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений.

Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Решение систем линейных алгебраических уравнений общего вида.

Теорема Кронекера – Капелли.

Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида.

Запись общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических с помощью векторов фундаментальной системы решений.

Решение систем уравнений, сводящихся к слау.

Примеры задач, сводящихся к решению систем линейных алгебраических уравнений.

Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).

Пусть система линейных алгебраических уравнений задана в матричной форме , где матрицаA имеет размерностьn наn и ее определитель отличен от нуля.

Так как , то матрицаА – обратима, то есть, существует обратная матрица. Если умножить обе части равенстванаслева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных. Так мы получили решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.

матричным методом.

Перепишем систему уравнений в матричной форме:

Так как то СЛАУ можно решать матричным методом. С помощью обратной матрицы решение этой системы может быть найдено как.

Построим обратную матрицу с помощью матрицы из алгебраических дополнений элементов матрицыА (при необходимости смотрите статьюметоды нахождения обратной матрицы):

Осталось вычислить - матрицу неизвестных переменных, умножив обратную матрицуна матрицу-столбец свободных членов(при необходимости смотрите статьюоперации над матрицами):

или в другой записи x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Основная проблема при нахождении решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом заключается в трудоемкости нахождения обратной матрицы, особенно для квадратных матриц порядка выше третьего.

Более подробное описание теории и дополнительные примеры смотрите в статье матричный метод решения систем линейных уравнений.

К началу страницы

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Пусть нам требуется найти решение системы из n линейных уравнений сn неизвестными переменнымиопределитель основной матрицы которой отличен от нуля.

Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключаетсяx 1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключаетсяx 2 из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменнаяx n . Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называетсяпрямым ходом метода Гаусса . После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находитсяx n , с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляетсяx n-1 , и так далее, из первого уравнения находитсяx 1 . Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называетсяобратным ходом метода Гаусса .

Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных.

Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменнуюx 1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на, к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на, и так далее, кn-ому уравнению прибавим первое, умноженное на. Система уравнений после таких преобразований примет видгде, а.

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x 1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменнаяx 1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.

Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на, и так далее, кn-ому уравнению прибавим второе, умноженное на. Система уравнений после таких преобразований примет видгде, а. Таким образом, переменнаяx 2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x 3 , при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем x n из последнего уравнения как, с помощью полученного значенияx n находимx n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находимx 1 из первого уравнения.

Решите систему линейных уравнений методом Гаусса.

Исключим неизвестную переменную x 1 из второго и третьего уравнения системы. Для этого к обеим частям второго и третьего уравнений прибавим соответствующие части первого уравнения, умноженные наи насоответственно:

Теперь из третьего уравнения исключим x 2 , прибавив к его левой и правой частям левую и правую части второго уравнения, умноженные на:

На этом прямой ход метода Гаусса закончен, начинаем обратный ход.

Из последнего уравнения полученной системы уравнений находим x 3 :

Из второго уравнения получаем .

Из первого уравнения находим оставшуюся неизвестную переменную и этим завершаем обратный ход метода Гаусса .

x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Более детальную информацию и дополнительные примеры смотрите в разделе решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

К началу страницы

"