И очень понравилась. Стиллвелл показывает, как всего на 4-х страницах можно доказать знаменитую теорему о неразрешимости в радикалах уравнений 5-й степени и выше. Идея его подхода в том, что большая часть стандартного аппарата теории Галуа - нормальные расширения, сепарабельные расширения, и особенно "фундаментальная теорема теории Галуа" для этого применения практически не нужны; те их небольшие части, что нужны, можно в упрощенном виде вставить в текст доказательства.
Рекомендую эту статью тем, кто помнит основные начала высшей алгебры (что такое поле, группа, автоморфизм, нормальная подргруппа и фактор-группа), но ни разу не разбирал толком доказательство неразрешимости в радикалах.
Я посидел немного над ее текстом и повспоминал всякие вещи, и все-таки мне кажется, что кое-чего там не хватает, чтобы доказательство было полным и убедительным. Вот как, мне кажется, должен выглядеть план док-ва, в основном по Стиллвеллу, чтобы быть самодостаточным:
1. Надо прояснить, что значит "решить общее уравнение n-ной степени в радикалах". Берем n неизвестных u 1 ...u n , и строим поле Q 0 = Q(u 1 ...u n) рациональных функций от этих неизвестных. Теперь мы можем это поле расширять радикалами: каждый раз добавлять корень какой-то степени от какого-то элемента Q i и получать таким образом Q i+1 (формально говоря, Q i+1 это поле разложения многочлена x m -k, где k в Q i).
Возможно, что после какого-то числа таких расширений мы получим поле E, в котором "общее уравнение" x n + u 1 *x n-1 + u 2 *x n-2 ... будет раскладываться на линейные множители: (x-v 1)(x-v 2)....(x-v n). Иными словами, E будет включать в себя поле разложения "общего уравнения" (оно может быть больше этого поля). В таком случае мы скажем, что общее уравнение разрешимо в радикалах, потому что конструкция полей от Q 0 до E дает общую формулу решения уравнения n-й степени. Можно легко показать это на примерах n=2 или n=3.
2. Пусть есть расширение E над Q(u 1 ...u n), которое включает в себя поле разложения "общего уравнения", и его корни v 1 ...v n . Тогда можно доказать, что Q(v 1 ...v n) изоморфно Q(x 1 ...x n), полю рациональных функций от n неизвестных. Это та часть, которой не хватает в статье Стиллвелла, но есть в стандартных строгих доказательствах. Мы не знаем априори про v 1 ...v n , корни общего уравнения, что они трансцедентны и незасивимы друг от друга над Q. Это надо доказать, и легко доказывается сравнением расширения Q(v 1 ...v n) / Q(u 1 ...u n) с расширением Q(x 1 ...x n) / Q(a 1 ...a n), где a i - симметричные многочлены от x-ов, формализующие то, как коэффициенты уравнения зависят от корней (формулы Виета). Эти два расширения оказываются изоморфными друг другу. Из того, что мы доказали про v 1 ...v n , следует теперь, что любая перестановка v 1 ...v n порождает автоморфизм Q(v 1 ...v n), который таким образом перестанавливает корни.
3. Любое расширение Q(u 1 ...u n) в радикалах, которое включает в себя v 1 ...v n , можно расширить дальше в симметричное относительно v 1 ...v n расширение E". Это просто: каждый раз, когда мы добавляли корень от элемента, который выражается через u 1 ...u n , а значит и через v 1 ...v n (формулы Виета), мы добавляем вместе с ним корни всех элементов, которые получаются любыми перестановками v 1 ...v n . В итоге E" обладает следующим свойством: любая перестановка v 1 ...v n расширяется до автоморфизма Q(v 1 ...v n), который расширяется до автоморфизма E", который при этом фиксирует все элементы Q(u 1 ...u n) (из-за симметричности формул Виета).
4. Теперь мы смотрим на группы Галуа расширений G i = Gal(E"/Q i), т.е. автоморфизмы E", которые фиксируют все элементы Q i , где Q i - промежуточные поля в цепочке расширений радикалами от Q(u 1 ...u n) до E". Стиллвелл показывает, что если добавлять всегда радикалы простой степени, и корни единицы перед другими корнями (несущественные ограничения), то легко видеть, что каждая G i+1 является нормальной подргруппой G i , и их фактор-группа абелева. Цепочка начинается с G 0 = Gal(E"/Q(u 1 ...u n)), и сходит до 1 = Gal(E"/E"), потому что автоморфизм E", фиксирующий E" целиком, есть только один.
5. Мы знаем из пункта 3, что G 0 включает в себя много автоморфизмов - для любой перестановки v 1 ...v n есть автоморфизм в G 0 , расширяющий ее. Легко показать, что если n>4, и G i включает в себя все 3-циклы (т.е. автоморфизмы, расширяющие перестановки v 1 ...v n , которые циклично прокручивают 3 элемента), то и G i+1 включает в себя все 3-циклы. Это противоречит тому, что цепочка заканчивается на 1, и доказывает, что не может быть цепочки расширений радикалами, начинающейся с Q(u 1 ...u n), и включающей в себя в конце поле разложения "общего уравнения".
Я вдруг осознал, что не помню теорию Галуа, и решил посмотреть, докуда я смогу добраться, не пользуясь бумагой и не зная ничего, кроме базовых понятий - поле, линейное пространство, многочлены одной переменной, схема Горнера, алгоритм Евклида, автоморфизм, группа подстановок. Ну, и плюс здравый смысл. Оказалось - довольно далеко, поэтому расскажу подробно.
Возьмем какое-нибудь поле К и неприводимый над ним многочлен А(х) степени р. Мы хотим расширить К так, чтобы А оказался разложим на линейные множители. Ну, начнем. Добавляем новый элемент а, про который мы знаем только то, что А(а)=0. Очевидно, придется добавить все степени а до (р-1)й, и все их линейные комбинации. Получится векторное пространство над К размерности р, в котором определены сложение и умножение. Но - ура! - деление тоже определено: любой многочлен В(х) степени, меньшей р, взаимно прост с А(х), и алгоритм Евклида дает нам В(х)С(х)+А(х)М(х)=1 для подходящих многочленов С и М. И тогда В(а)С(а)=1 - мы нашли обратный элемент для В(а). Итак, поле К(а) определено однозначно с точностью до изоморфизма, и у каждого его элемента есть однозначно определенное "каноническое выражение" через а и элементы К. Разложим А(х) над новым полем К(а). Один линейный множитель мы знаем, это (х-а). Поделим на него, результат разложим на неприводимые множители. Если они все линейны, мы победили, иначе берем какой-то нелинейный, и аналогично добавляем один его корень. И так далее до победы (считая по дороге размерность над К: на каждом шаге она на что-нибудь умножается). Назовем окончательный результат К(А).
Теперь ничего не требуется, кроме здравого смысла и понимания, что такое изоморфизм, чтобы понять: мы доказали Теорему.
Теорема. Для любого поля К и любого неприводимого над ним многочлена А(х) степени р существует единственное с точностью до изоморфизма расширение К(А) поля К с такими свойствами:
1. А(х) разлагатся над К(А) на линейные множители
2. К(А) порождается К и всеми корнями А(х)
3. Если Т - любое поле, содержащее К, над которым А(х) разлагается на линейные множители, то К и корни А(х) в Т порождают поле, изоморфное К(А) и инвариантное под действием любого автоморфизма Т, тождественного на К.
4. Группа автоморфизмов К(А), тождественных на К, действует перестановками на множестве корней А(х). Это действие точно и транзитивно. Ее порядок равен размерности К(А) над К.
Заметим, кстати, что если на каждом шаге процесса после деления на (х-а) оставался вновь неприводимый многочлен, то размерность расширения равна р!, и группа - полная симметрическая степени р. (На самом деле, очевидно, "если и только если".)
Например, так происходит, если А - многочлен общего вида. Что это такое? Это когда его коэффициенты а_0,а_1,...,а_р=1 алгебраически независимы над К. Ведь если мы поделим А(х) на х-а по схеме Горнера (это можно и в уме сделать, для того она и придумана такая простая), то увидим, что коэффициенты частного алгебраически независимы уже над К(а). Значит, по индукции все в кайф.
Думаю, после такого элементарного введения разобраться по любой книжке со всеми остальными деталями будет гораздо проще.
ГАЛУА ТЕОРИЯ
подгрупп группы , где . Последовательность (2) является нормальным рядом (т. е. каждая группа - нормальный делитель группы при ) тогда и только тогда, когда в последовательности (1) каждое поле есть Галуа поля , и в этом случае .
К задаче решения алгебраич. уравнений эти результаты применяются следующим образом. Пусть f- без кратных корней над полем k,
а К -
его поле разложения (оно будет расширением Галуа поля k).
Группа Галуа этого расширения наз. группой Галуа уравнения f=0. Решение уравнения f=0 тогда и только тогда сводится к решению цепи уравнений когда Ксодержится в поле , являющемся последним членом возрастающей последовательности полей
где - поле разложения над полем , многочлена . Последнее условие равносильно тому, что группа является факторгруппой группы 
, обладающей нормальным рядом, факторы к-рого изоморфны группам Галуа уравнений .
Пусть поле kсодержит все корни из единицы степени п.
Тогда для любого полем разложения многочлена служит поле , где - одно из значений радикала Группа 
является в этом случае циклич. группой порядка n, и обратно, если группа является циклич. группой порядка и, то , где - корень нек-рого.двучленного уравнения Таким образом, если поле kсодержит корни из единицы всех необходимых степеней, то уравнение f=0 решается в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима (т. е. обладает нормальным рядом с циклич. факторами ). Найденное условие разрешимости в радикалах справедливо и в случае, когда поле kне содержит всех нужных корней из единицы, поскольку группа Галуа расширения , получающегося присоединением этих корней, всегда разрешима.
Для практического применения условия разрешимости весьма важно, что группу Галуа уравнения можно вычислить, не решая этого уравнения. Идея вычисления следующая. Каждый поля разложения многочлена f индуцирует нек-рую перестановку его корней, причем этой перестановкой он вполне определяется. Поэтому группу Галуа уравнения в принципе можно трактовать как нек-рую подгруппу группы подстановок его корней (а именно, подгруппу, состоящую из подстановок, сохраняющих все алгебраич. зависимости между корнями). Зависимости между корнями многочлена дают нек-рые соотношения между его коэффициентами (в силу формул Виета); анализируя эти соотношения можно определить зависимости между корнями многочлена и тем самым вычислить группу Галуа уравнения. В общем случае группа Галуа алгебраич. уравнения может состоять из всех перестановок корней, т. е. являться симметрической группой n-
йстепени. Поскольку при симметрическая группа неразрешима, то уравнение степени 5 и выше, вообще говоря, в радикалах не решается (теорема Абеля).
Соображения Г. т. позволяют, в частности, описать полностью задач на построение, разрешимых с помощью циркуля и линейки. Методами аналитической геометрии показывается, что любая такая задача на построение сводится к нек-рому алгебраич. уравнению над полем рациональных чисел, причем она разрешима с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда соответствующее уравнение решается в квадратных радикалах. А для этого необходимо и достаточно, чтобы группа Галуа уравнения обладала нормальным рядом, факторы к-рого являются группами 2-го порядка, что имеет место тогда и только тогда, когда ее является степенью двух. Итак, задача на построение, разрешимая с помощью циркуля и линейки, сводится к решению уравнения, поле разложения к-рого имеет над полем рациональных чисел степень вида 2 s
;если степень уравнения не имеет вида 2 s , то такое построение невозможно. Так обстоит дело с задачей об удвоении куба (сводящейся к кубическому уравнению ) и с задачей о трисекции угла (также сводящейся к кубическому уравнению). Задача о построении правильного р-угольника сводится при простом рк уравнению обладающему тем свойством, что его поле разложения порождается любым из корней и поэтому имеет степень р -1, равную степени уравнения. В этом случае построение с помощью циркуля и линейки возможно, только если (напр., при р = 5 и р = 17 оно возможно, а при р = 7 и при р = 13 нет).
Идеи Галуа оказали решающее влияние на развитие алгебры в течении почти целого столетия. Г. т. развивалась и обобщалась во многих направлениях. В. Галуа теории обратная задача).
Тем не менее в класснч. Г. т. осталось еще много нерешенных задач. Напр., неизвестно, для любой ли группы G существует уравнение над полем рациональных чисел с этой группой Галуа.
Лит. : Галуа Э., Сочинения, пер. с франц., М.-Л., 1936; Чеботарев Н. Г., Основы теории Галуа, ч. 1 - 2, М.-Л., 1934-37; его же, Теория Галуа, М.- Л., 1936; Постников М. М., Основы теории Галуа, М., 1960; его же, Теория Галуа, М., 1963; }