Основные свойства а>10 10"> 10"> 10" title="Основные свойства а>10"> title="Основные свойства а>10">
График функции Кривая называется экспонентой а>1 0 1 0"> 1 0"> 1 0" title="График функции Кривая называется экспонентой а>1 0"> title="График функции Кривая называется экспонентой а>1 0">
Геометрическая особенность графика функции Ось Ох является горизонтальной асимптотой графика функции при х -, если а >1 при х -, если а >1 при х +, если 0 1 при х -, если а >1 при х +, если 0"> 1 при х -, если а >1 при х +, если 0"> 1 при х -, если а >1 при х +, если 0" title="Геометрическая особенность графика функции Ось Ох является горизонтальной асимптотой графика функции при х -, если а >1 при х -, если а >1 при х +, если 0"> title="Геометрическая особенность графика функции Ось Ох является горизонтальной асимптотой графика функции при х -, если а >1 при х -, если а >1 при х +, если 0">
Показательными уравнениями называют уравнения вида а>0,а1, и уравнения, сводящиеся к этому виду 0,а1, и уравнения, сводящиеся к этому виду"> 0,а1, и уравнения, сводящиеся к этому виду"> 0,а1, и уравнения, сводящиеся к этому виду" title="Показательными уравнениями называют уравнения вида а>0,а1, и уравнения, сводящиеся к этому виду"> title="Показательными уравнениями называют уравнения вида а>0,а1, и уравнения, сводящиеся к этому виду">
Основные методы решения показательных уравнений Функционально-графический Функционально-графический Основан на использовании графический иллюстраций или каких- либо свойств функции. Метод уравнивания показателей Метод уравнивания показателей Основан на применении теоремы: Уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x), где а>0,а1. Метод введения новой переменной Метод введения новой переменной
0,а1. Метод введения новой переменной Метод введения новой переменной">
0,а1, и неравенства, сводящиеся к этому виду. Теорема: Показательное неравенство равносильно неравенству f(x)>g(x), если а >1 ; Показательное неравенство равносильно н" title="Показательные неравенства Показательными неравенствами называют неравенства вида а>0,а1, и неравенства, сводящиеся к этому виду. Теорема: Показательное неравенство равносильно неравенству f(x)>g(x), если а >1 ; Показательное неравенство равносильно н" class="link_thumb"> 8 Показательные неравенства Показательными неравенствами называют неравенства вида а>0,а1, и неравенства, сводящиеся к этому виду. Теорема: Показательное неравенство равносильно неравенству f(x)>g(x), если а >1 ; Показательное неравенство равносильно неравенству f(x) 0,а1, и неравенства, сводящиеся к этому виду. Теорема: Показательное неравенство равносильно неравенству f(x)>g(x), если а >1 ; Показательное неравенство равносильно н"> 0,а1, и неравенства, сводящиеся к этому виду. Теорема: Показательное неравенство равносильно неравенству f(x)>g(x), если а >1 ; Показательное неравенство равносильно неравенству f(x) "> 0,а1, и неравенства, сводящиеся к этому виду. Теорема: Показательное неравенство равносильно неравенству f(x)>g(x), если а >1 ; Показательное неравенство равносильно н" title="Показательные неравенства Показательными неравенствами называют неравенства вида а>0,а1, и неравенства, сводящиеся к этому виду. Теорема: Показательное неравенство равносильно неравенству f(x)>g(x), если а >1 ; Показательное неравенство равносильно н"> title="Показательные неравенства Показательными неравенствами называют неравенства вида а>0,а1, и неравенства, сводящиеся к этому виду. Теорема: Показательное неравенство равносильно неравенству f(x)>g(x), если а >1 ; Показательное неравенство равносильно н">
Урок математики по теме “Показательная функция”10 класс (учебник “Алгебра и начала математического анализа 10 класс” С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.) разработан с использованием компьютерных технологий.
На уроке рассматривается функция , где , рассматриваются свойства этой функции и ее график. Эти свойства будут использоваться в дальнейшем, при доказательстве свойств логарифмической функции, при решении показательных уравнений и неравенств.
Тип урока: комбинированный с применением компьютера и интерактивной доски.
Компьютерные технологии создают большие возможности активизации учебной деятельности. Широкое применение ИКТ при изучении большинства предметов дает возможность реализовать принцип “учение с увлечением”, и тогда любой предмет будет иметь равные шансы стать любимым детьми.
Место данного урока в теме: первый урок в теме.
Метод: комбинированный (словесно-наглядно-практический).
Цель урока: сформировать представление о показательной функции, ее свойствах и графиках.
Задачи урока:
- научить строить простейшие графики показательной функции и решать показательные уравнения графически,
- научить применять свойства показательной функции,
- осуществить контроль знаний,
- использовать различные приемы и методы для поддержания работоспособности учащихся.
Материал для урока подобран таким образом, что предполагает работу с учащихся различных категорий - от слабых учеников до сильных.
Ход урока
I. Организационный момент (слайд 1-4). Презентация
II. Изучение нового материала (слайд 5-6)
Определение показательной функции;
Свойства показательной функции;
График показательной функции.
III. Устно - закрепление новых знаний (слайды 7-16)
1) Выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей)
2) Сравнить: .
3) Сравнить с единицей:
4) На рисунке изображены графики показательных функций. Соотнесите график функции с формулой.
IV. Динамическая пауза
V. Обобщение и систематизация новых знаний (слайд 16-20)
1) Построить график функции: y=(1/3) x ;
2) Решить графически уравнение:
3) Применение показательной функции к решению прикладных задач:
“Период полураспада плутония равен 140 суткам. Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная масса равна 8 г?”
VI. Тестовая работа (слайд 21)
Каждый ученик имеет карточку с заданием - тест (Приложение 1) и таблицу для внесения ответов (Приложение 2).
Проверяем и оцениваем (слайд 22)
VII. Домашнее задание (слайд 23-24)
№ 4.55 (а, в, и) № 4.59, № 4.60 (а, ж); № 4.61 (г, з)
Задача (для тех, кто интересуется математикой):
Зависимость давления атмосферы р (в сантиметрах ртутного столба) от выраженной в километрах высоты h над уровнем моря выражается формулой
Вычислить, каким будет атмосферное давление на вершине Эльбруса, высота которой 5,6 км?
VIII. Подведение итогов
Литература
- С.М.Никольский, М. К. Потапов и др. “Алгебра и начала математического анализа 10 класс”, Москва “ Просвещение”, 2010.
- М. К. Потапов, А.В. Потапов “Алгебра и начала математического анализа 10 класс. Книга для учителя”, Москва “ Просвещение”, 2009.
- М. К. Потапов, А.В. Потапов “Алгебра и начала математического анализа 10 класс. Дидактические материалы”, Москва “ Просвещение”, 2009.
- Л. О. Денищева и др. “Сборник экзаменационных заданий. Математика. ЭГЕ”, Москва, издательство “Эксмо”, 2009.
- Математика. Сборник тренировочных работ. Под редакцией А.Л. Семенова, И. В. Ященко, Москва, “Экзамен”, 2009.
Данная презентация предназначена для повторения темы «Показательная функция» в 10 классе. Она содержит как теоретические сведения по данной теме, так и разноуровневые практические задания. Разработка состоит из трёх блоков:
- Рассмотрение основных свойств показательной функции.
- Решение показательных уравнений.
- Решение показательных неравенств.
В презентации показаны различные способы решения показательных уравнений и неравенств. Данную разработку можно использовать не только при объяснении отдельных тем, но и при подготовке к экзамену.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
«Показательная функция» Учитель математики МАОУ лицей №3 города Кропоткин Краснодарского края Зозуля Елена Алексеевна
Определение Показательная функция – это функция вида, где x – переменная, - заданное число, >0, 1. Примеры:
Свойства показательной функции Область определения: все действительные числа Множество значений: все положительные числа При > 1 функция возрастающая; при 0
График показательной функции Т.к. , то график любой показательной функции проходит через точку (0; 1) 1 1 х х у у 0 0
Показательные уравнения Определение Простейшие уравнения Способы решения сложных уравнений
Определение Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным. Примеры:
Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида Простейшее показательное уравнение решается с использованием свойств степени.
Способы решения сложных показательных уравнений. Вынесение за скобки степени с меньшим показателем Замена переменной Деление на показательную функцию
Вынесение за скобки степени с меньшим показателем Данный способ используется, если соблюдаются два условия: 1) основания степеней одинаковы; 2) коэффициенты перед переменной одинаковы Например:
Замена переменной При данном способе показательное уравнение сводится к квадратному. Способ замены переменной используют, если показатель одной из степеней в 2 раза больше, чем у другой. Например: 3 2 x – 4 · 3 х – 45 = 0 коэффициенты перед переменной противоположны. Н апример: 2 2 - х – 2 х – 1 =1 б) а) основания степеней одинаковы;
Деление на показательную функцию Данный способ используется, если основания степеней разные. а) в уравнении вида a x = b x делим на b x Например: 2 х = 5 х | : 5 x б) в уравнении A a 2 x + B (ab) x + C b 2 x = 0 делим на b 2x . Например: 3 25 х - 8 15 х + 5 9 х = 0 | : 9 x
Показательные неравенства Определение Простейшие неравенства Решение неравенств
Определение Показательные неравенства – это неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Примеры:
Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида: где a > 0, a 1, b – любое число.
При решении простейших неравенств используют свойства возрастания или убывания показательной функции. Для решения более сложных показательных неравенств используются те же способы, что и при решении показательных уравнений.
Показательная функция Построение графика Сравнение чисел с использованием свойств показательной функции Сравнение числа с 1 а) аналитический способ; б) графический способ.
Задача 1 Построить график функции y = 2 x x y -1 8 7 6 5 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 х у 3 8 2 4 1 2 0 1
Задача 2 Сравнить числа Решение Ответ:
Задача 3 Сравнить число с 1. Решение -5
Задача 4 C равнить число р с 1 р = 2 > 1 , то функция у = 2 t – возрастающая. 0 1. Ответ: > 1 р =
Решение показательных уравнений Простейшие показательные уравнения Уравнения, решаемые вынесением за скобки степени с меньшим показателем Уравнения, решаемые заменой переменной случай 1; случай 2. Уравнения, решаемые делением на показательную функцию случай 1; случай 2.
Простейшие показательные уравнения Ответ: - 5,5 . Ответ: 0; 3.
Вынесение за скобки степени с меньшим показателем Ответ: 5 x + 1 - (x - 2) = = x + 1 – x + 2 = 3
Замена переменной (1) основания степеней одинаковы, показатель одной из степеней в 2 раза больше, чем у другой. 3 2 x – 4 · 3 х – 45 = 0 t = 3 x (t > 0) t 2 – 4 t – 45 = 0 По т. Виета: t 1 · t 2 = - 45; t 1 + t 2 = 4 t 1 = 9 ; t 2 = - 5 – не удовлетворяет условию 3 x = 9 ; 3 x = 3 2 ; x = 2 . Ответ: 2
Замена переменной (2) Основания степеней одинаковы, коэффициенты перед переменной противоположны. По т. Виета: - Не удовлетворяет условию Ответ: 1
Деление на показательную функцию Ответ: 0
Деление на показательную функцию Ответ: 0; 1.
Простейшие показательные неравенства Двойные неравенства Неравенства, решаемые вынесением за скобки степени с меньшим показателем Неравенства, решаемые заменой переменной Решение показательных неравенств
Простейшие показательные неравенства
Двойные неравенства Ответ: (- 4; -1). 3 > 1 , то
Решение показательных неравенств Метод: Вынесение за скобки степени с меньшим показателем Ответ: х > 3 Т.к. 3 > 1 , то знак неравенства остается прежним: 10
Решение показательных неравенств Метод: Замена переменной Ответ: х 1 , то
Используемая литература. А.Г.Мордкович: Алгебра и начала математического анализа(профильный уровень), 10класс,2011г. А.Н. Колмогоров: Алгебра и начала математического анализа,2008г. Интернет
Презентация «Показательная функция, ее свойства и график» наглядно представляет учебный материал по данной теме. В ходе презентации подробно рассматриваются свойства показательной функции, ее поведение в системе координат, рассматриваются примеры решения задач с использованием свойств функции, уравнений и неравенств, изучаются важные теоремы по теме. С помощью презентации учитель может повысить эффективность урока математики. Яркое представление материала помогает удерживать внимание учеников на изучении темы, анимационные эффекты помогают более понятно продемонстрировать решения задач. Для более быстрого запоминания понятий, свойств и особенностей решения используется выделение цветом.
Демонстрация начинается с примеров показательной функции у=3 х с различными показателями - целыми положительными и отрицательными, обыкновенной дробью и десятичной. Для каждого показателя вычисляется значение функции. Далее для этой же функции строится график. На слайде 2 построена таблица, заполненная координатами точек, принадлежащих графику функции у=3 х. По этим точкам на координатной плоскости строится соответствующий график. Рядом с графиком строятся аналогичные графики у=2 х, у=5 х и у=7 х. Каждая функция выделена разными цветами. В таких же цветах выполнены графики этих функций. Очевидно, что с ростом основания степени показательной функции график становится круче и больше прижимается к оси ординат. На этом же слайде описаны свойства показательной функции. Отмечается, что областью определения является числовая прямая (-∞;+∞), Функция не является четной или нечетной, на все области определения функция возрастает и не имеет наибольшего или наименьшего значения. Показательная функция ограничена снизу, но не ограничена сверху, непрерывна на области определения и выпуклая вниз. Область значений функции принадлежит промежутку (0;+∞).
На слайде 4 представлено исследование функции у=(1/3) х. Строится график функции. Для этого заполняется координатами точек, принадлежащих графику функции, таблица. По этим точкам строится график на прямоугольной системе координат. Рядом описываются свойства функции. Отмечается, что областью определения является вся числовая ось. Эта функция не является нечетной или четной, убывающая на всей области определения, не имеет наибольшего, наименьшего значений. Функция у=(1/3) х является ограниченной снизу и неограниченной сверху, на области определения непрерывна, имеет выпуклость вниз. Область значений - положительная полуось (0;+∞).
На приведенном примере функции у=(1/3) х можно выделить свойства показательной функции с положительным основанием, меньшим единицы и уточнить представление о ее графике. На слайде 5 представлен общий вид такой функции у=(1/а) х, где 0
На слайде 6 сравниваются графики функций у=(1/3) х и у=3 х. Видно, что эти графики симметричны относительно оси ординат. Чтобы сравнение было более наглядным, графики окрашены в цвета, которыми выделены формулы функций. Далее представляется определение показательной функции. На слайде 7 в рамке выделено определение, в котором указано, что функция вида у=а х, где положительное а, не равное 1, называется показательной. Далее с помощью таблицы сравнивается показательная функция с основанием, большим 1, и положительным меньшим 1. Очевидно, что практически все свойства функции аналогичны, только функция с основанием, большим а, возрастающая, а с основанием, меньшим 1, убывающая. Далее рассматривается решение примеров. В примере 1 необходимо решить уравнение 3 х =9. Уравнение решается графическим способом - строится график функции у=3 х и график функции у=9. Точка пересечения этих графиков М(2;9). Соответственно, решением уравнения является значение х=2. На слайде 10 описывается решение уравнения 5 х =1/25. Аналогично предыдущему примеру решение уравнения определяется графически. Демонстрируется построение графиков функций у=5 х и у=1/25. Точкой пересечения данных графиков является точка Е(-2;1/25), значит, решение уравнения х=-2. Далее предлагается рассмотреть решение неравенства 3 х <27. Решение выполняется графически - определяется точка пересечения графиков у=3 х и у=27. Затем на плоскости координат хорошо видно, при каких значениях аргумента значения функции у=3 х будут меньшими 27 - это промежуток (-∞;3). Аналогично выполняется решение задания, в котором нужно найти множество решений неравенства (1/4) х <16. На координатной плоскости строятся графики функций, соответствующих правой и левой части неравенства и сравниваются значения. Очевидно, что решением неравенства является промежуток (-2;+∞).
Вариант №1 | Ответы | Вариант №2 | Ответы |
|||
9,8 0 | 3 -2 | |||||
а x > 1 при а… ,х…. | а > 1,х > 0 или 0 а 1,х 0 | Убывает ли y = 8 – x ? | да |
|||
Область определения | Любое число |
|||||
Множество значений x, для которых определены значения y(x), называются… | Область определения | х - ? | ||||
Область определения показательной функции | Через какую точку обязательно пройдёт график y = а x ? | (0,1) |
||||
Область определения y = 2 x +3 | Любое число | Множество значений показательной функции | E(а x )= R + |
|||
Множество значений y = √х | у≥0 | а> 1, а x 1 > а x 2 Сравните x 1 и x 2 | x 1 >x 2 |
|||
6 3 6 – 2 | ||||||
Решите неравенство 3 x 4 | Сравнить числа и 1 | |||||
Множество значений показательной функции | E(а x )= R + | Область определения | х≥0 |
|||
3 x = 1, x = … | 1996 0 | |||||
y = а x . при а> 1 функция … | возрастает | Название точки пересечения | Ноль функции, Не пересекает |
|||
Возрастает ли y = ? | нет | Возрастает ли | да |
|||
15 2 |
5. Домашнее задание. (на слайде№22)
6. Подведение итогов. Выставление оценок. (на слайде№23)
При проведении урока по теме « Показательная функция»очень удобно использовать данную презентацию, т.к.высвобождается время для иллюстрации различных свойств и правил, появляется возможность быстро проверить небольшие с/р, при объяснении нового материала можно использовать более наглядные и красочные графики показательной функции.
Фрагменты этого урока можно также использовать при повторении пройденного материала, при подготовке к экзамену.
Цветными геометрическими фигурами на слайдах показаны гиперссылки.(слайд №11,16)
В ходе подготовки данной работы использовались материалы из опыта работы:
Морина С.А.- учитель математики МОУ СОШ №5 г.Железноводска