С двумя чёткими и с одним нечётким значением помимо «истинно» и «ложно» включает также третье значение, которое нечётко и трактуется как «не определено» или «неизвестно».
Физическая реализация
При физической реализации троичным функциям в троичной логике соответствуют троичные логические элементы , в общем случае не обязательно электронные.
Схемы с 3-4-значной логикой дают возможность сократить количество используемых логических и запоминающих элементов, а также межэлементных соединений. Схемы трёхзначной логики легко реализуются на КМОП -технологии. Трёхзначная логика обладает большей выразительностью, чем двухзначная. Например, существует лишь 16 комбинаций входов-выходов двухвходового двоичного вентиля, тогда как у аналогичного троичного вентиля таких комбинаций 19683.
На основе троичных элементов - троичной ферритодиодной ячейки разработки Николая Брусенцова - в 1959 году в вычислительном центре МГУ спроектирована малая ЭВМ «Сетунь », выпущена в 46 экземплярах.
Логики
Логики Клини и Приста
Ниже показаны таблицы истинности для логических операций «Сильной логики неопределённости» (strong logic of indeterminacy) Стивена Клини и «Парадоксальной логики» (logic of paradox) Приста. Обе логики имеют три логических значения - «истина», «ложь» и «неопределённость», которые в логике Клини обозначаются буквами F (False), U (Unknown), T (True), а в логике Приста числами -1, 0 и 1.
| A ∧ B | B | |||
|---|---|---|---|---|
| F | U | T | ||
| A | F | F | F | F |
| U | F | U | U | |
| T | F | U | T | |
| A ∨ B | B | |||
|---|---|---|---|---|
| F | U | T | ||
| A | F | F | U | T |
| U | U | U | T | |
| T | T | T | T | |
| A ∧ B | B | |||
|---|---|---|---|---|
| −1 | 0 | +1 | ||
| A | −1 | −1 | −1 | −1 |
| 0 | −1 | 0 | 0 | |
| +1 | −1 | 0 | +1 | |
| A ∨ B | B | |||
|---|---|---|---|---|
| −1 | 0 | +1 | ||
| A | −1 | −1 | 0 | +1 |
| 0 | 0 | 0 | +1 | |
| +1 | +1 | +1 | +1 | |
Значение U присваивается выражениям, которые реально имеют значение T или F, но в данный момент это значение по каким-то причинам неизвестно, в результате чего возникает неопределённость. Тем не менее, результат логической операции с величиной U может оказаться определённым. Например, поскольку T & F = F и F & F = F, то и U & F = F. В более общем виде: если для некоторой логической операции OPER выполняется соотношение OPER(F,F)=OPER(F,T), то OPER(F,U)=OPER(F,F)=OPER(F,T). Аналогично, если OPER(T,F)=OPER(T,T), то OPER(T,U)=OPER(T,F)=OPER(T,T).
При численном обозначении логических значений (–1, 0, 1) логические операции эквивалентны следующим численным операциям:
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \bar{X}=-X;
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X \lor Y = max(X,Y);
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X \land Y = min(X,Y).
Операция импликации в логиках Клини и Приста определяется формулой, аналогичной формуле двоичной логики:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X \rightarrow Y \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \bar{X} \lor Y
.
Таблицы истинности для неё
| A → B | B | |||
|---|---|---|---|---|
| +1 | 0 | −1 | ||
| A | +1 | +1 | 0 | −1 |
| 0 | +1 | 0 | 0 | |
| −1 | +1 | +1 | +1 | |
Это определение отличается от определения импликации, принятого в логике Лукасевича.
См. также
Напишите отзыв о статье "Троичная логика"
Примечания
Литература
- Васильев Н. И. Воображаемая логика. - М .: Наука, 1989.
- Карпенко А. С. Многозначные логики // Логика и компьютер. Вып. №4. - М .: Наука, 1997.
- Кэррол Льюис. Символическая логика // Льюис Кэррол. История с узелками. - М .: Мир, 1973.
- Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. - М .: Иностранная литература, 1959.
- Слинин Я. А. Современная модальная логика. - Л. : Издательство Ленинградского университета, 1976.
- Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. - М .: Наука, 1967.
- Гетманова А. Д. Учебник по логике. - М .: Владос, 1995. - С. 259-268. - 303 с. - ISBN 5-87065-009-7.
- Толковый словарь по вычислительным системам / Под ред. В. Иллингуорта и др.. - М .: Машиностроение, 1990. - 560 с. - ISBN 5-217-00617-X.
Ссылки
Отрывок, характеризующий Троичная логика
– Я звала её... Но моя девочка, наверное, спит, так как не отвечает... Она устала, думаю. Я не хочу тревожить её покой. Потому, поговори со мною, Север.Он печально-понимающе посмотрел мне в глаза и тихо спросил:
– Что ты хочешь узнать, мой друг? Спрашивай – я постараюсь ответить тебе на всё, что тебя тревожит.
– Светодар, Север... Что стало с ним? Как прожил свою жизнь на Земле сын Радомира и Магдалины?..
Север задумался... Наконец, глубоко вздохнув, будто сбрасывая наваждение прошлого, начал свой очередной захватывающий рассказ...
– После распятия и смерти Радомира, Светодара увезли в Испанию рыцари Храма, чтобы спасти его от кровавых лап «святейшей» церкви, которая, чего бы это ни стоило, пыталась найти и уничтожить его, так как мальчик являлся самым опасным живым свидетелем, а также, прямым продолжателем радомирова Дерева Жизни, которое должно было когда-нибудь изменить наш мир.
Светодар жил и познавал окружающее в семье испанского вельможи, являвшегося верным последователем учения Радомира и Магдалины. Своих детей, к их великой печали, у них не было, поэтому «новая семья» приняла мальчика очень сердечно, стараясь создать ему как можно более уютную и тёплую домашнюю обстановку. Назвали его там Амори (что означало – милый, любимый), так как своим настоящим именем называться Святодару было опасно. Оно звучало слишком необычно для чужого слуха, и рисковать из-за этого жизнью Светодара было более чем неразумно. Так Светодар для всех остальных стал мальчиком Амори, а его настоящим именем звали его лишь друзья и его семья. И то, лишь тогда, когда рядом не было чужих людей...
Очень хорошо помня гибель любимого отца, и всё ещё жестоко страдая, Светодар поклялся в своём детском сердечке «переделать» этот жестокий и неблагодарный мир. Поклялся посвятить свою будущую жизнь другим, чтобы показать, как горячо и самозабвенно любил Жизнь, и как яростно боролся за Добро и Свет и его погибший отец...
Вместе со Светодаром в Испании остался его родной дядя – Радан, не покидавший мальчика ни ночью, ни днём, и без конца волновавшийся за его хрупкую, всё ещё несформировавшуюся жизнь.
Радан души не чаял в своём чудесном племяннике! И его без конца пугало то, что однажды кто-то обязательно их выследит, и оборвёт ценную жизнь маленького Светодара, которому, уже тогда, с самых первых лет его существования, суровая судьба предназначала нести факел Света и Знания в наш безжалостный, но такой родной и знакомый, Земной мир.
Прошло восемь напряжённых лет. Светодар превратился в чудесного юношу, теперь уже намного более походившего на своего мужественного отца – Иисуса-Радомира. Он возмужал и окреп, а в его чистых голубых глазах всё чаще стал появляться знакомый стальной оттенок, так ярко вспыхивавший когда-то в глазах его отца.
Светодар жил и очень старательно учился, всей душой надеясь когда-нибудь стать похожим на Радомира. Мудрости и Знанию его обучал пришедший туда Волхв Истень. Да, да, Изидора! – заметив моё удивление, улыбнулся Сеевер. – тот же Истень, которого ты встретила в Мэтэоре. Истень, вместе с Раданом, старались всячески развивать живое мышление Светодара, пытаясь как можно шире открыть для него загадочный Мир Знаний, чтобы (в случае беды) мальчик не остался беспомощным и умел за себя постоять, встретившись лицом к лицу с врагом или потерями.
Простившись когда-то очень давно со своей чудесной сестрёнкой и Магдалиной, Светодар никогда уже больше не видел их живыми... И хотя почти каждый месяц кто-нибудь приносил ему от них свежую весточку, его одинокое сердце глубоко тосковало по матери и сестре – его единственной настоящей семье, не считая, дяди Радана. Но, несмотря на свой ранний возраст, Светодар уже тогда научился не показывать своих чувств, которые считал непростительной слабостью настоящего мужчины. Он стремился вырасти Воином, как его отец, и не желал показывать окружающим свою уязвимость. Так учил его дядя Радан... и так просила в своих посланиях его мать... далёкая и любимая Золотая Мария.
После бессмысленной и страшной гибели Магдалины, весь внутренний мир Светодара превратился в сплошную боль... Его раненная душа не желала смиряться с такой несправедливой потерей. И хотя дядя Радан готовил его к такой возможности давно – пришедшее несчастье обрушилось на юношу ураганом нестерпимой муки, от которой не было спасения... Его душа страдала, корчась в бессильном гневе, ибо ничего уже нельзя было изменить... ничего нельзя было вернуть назад. Его чудесная, нежная мать ушла в далёкий и незнакомый мир, забрав вместе с собой его милую маленькую сестрёнку...
Он оставался теперь совсем один в этой жестокой, холодной реальности, даже не успев ещё стать настоящим взрослым мужчиной, и не сумев хорошенько понять, как же во всей этой ненависти и враждебности остаться живым...
Но кровь Радомира и Магдалины, видимо, недаром текла в их единственном сыне – выстрадав свою боль и оставшись таким же стойким, Светодар удивил даже Радана, который (как никто другой!) знал, сколь глубоко ранимой может быть душа, и как тяжко иногда даётся возвращение назад, где уже нету тех, кого ты любил и по кому так искренне и глубоко тосковал...
Светодар не желал сдаваться на милость горя и боли... Чем безжалостнее «била» его жизнь, тем яростнее он старался бороться, познавая пути к Свету, к Добру, и к спасению заблудших во тьме человеческих душ... Люди шли к нему потоком, умоляя о помощи. Кто-то жаждал избавиться от болезни, кто-то жаждал вылечить своё сердце, ну, а кто-то и просто стремился к Свету, которым так щедро делился Светодар.
Тревога Радана росла. Слава о «чудесах», творимых его неосторожным племянником, перевалила за Пиренейские горы... Всё больше и больше страждущих, желали обратиться к новоявленному «чудотворцу». А он, будто не замечая назревавшей опасности, и дальше никому не отказывал, уверенно идя стопами погибшего Радомира...
Прошло ещё несколько тревожных лет. Светодар мужал, становясь всё сильнее и всё спокойнее. Вместе с Раданом они давно перебрались в Окситанию, где даже воздух, казалось, дышал учением его матери – безвременно погибшей Магдалины. Оставшиеся в живых Рыцари Храма с распростёртыми объятиями приняли её сына, поклявшись хранить его, и помогать ему, насколько у них хватит на это сил.
И вот однажды, наступил день, когда Радан почувствовал настоящую, открыто грозящую опасность... Это была восьмая годовщина смерти Золотой Марии и Весты – любимых матери и сестры Светодара...
– Смотри, Изидора... – тихо произнёс Север. – Я покажу тебе, если желаешь.
Передо мной тут же появилась яркая, но тоскливая, живая картина...
Хмурые, туманные горы щедро окроплял назойливый, моросящий дождь, оставлявший в душе ощущение неуверенности и печали... Серая, непроглядная мгла кутала ближайшие замки в коконы тумана, превращая их в одиноких стажей, охранявших в долине вечный покой... Долина Магов хмуро взирала на пасмурную, безрадостную картину, вспоминая яркие, радостные дни, освещённые лучами жаркого летнего солнца... И от этого всё кругом становилось ещё тоскливее и ещё грустней.
Высокий и стройный молодой человек стоял застывшим «изваянием» у входа знакомой пещеры, не шевелясь и не подавая никаких признаков жизни, будто горестная каменная статуя, незнакомым мастером выбитая прямо в той же холодной каменной скале... Я поняла – это наверняка и был взрослый Светодар. Он выглядел возмужавшим и сильным. Властным и в то же время – очень добрым... Гордая, высоко поднятая голова говорила о бесстрашии и чести. Очень длинные светлые волосы, повязаны на лбу красной лентою, ниспадали тяжёлыми волнами за плечи, делая его похожим на древнего короля... гордого потомка Меравинглей. Прислонившись к влажному камню, Светодар стоял, не чувствуя ни холода, ни влаги, вернее – не чувствуя ничего...
Здесь, ровно восемь лет назад, скончалась его мать – Золотая Мария, и его маленькая сестра – смелая, ласковая Веста... Они умерли, зверски и подло убитые сумасшедшим, злым человеком... посланным «отцами» святейшей церкви. Магдалина так и не дожила, чтобы обнять своего возмужавшего сына, так же смело и преданно, как она, идущего по знакомой дороге Света и Знания.... По жестокой земной дороге горечи и потерь...
Итак, мы с вами недавно узнали о . Что есть в мире нечто посерединке, отличное от абсолютизируемых цифровкой „Истины“ и „Лжи“. Даже научились немного операциям, с помощью которых это третье состоянье („Мера“) переводится в истину („+“) или ложь („-“). И наоборот. Мы поняли, как именно ложь и истина способны «прятаться» в этом третьем состоянии („0“).
Давайте приступим к изучению логики этого мира, отличного от двоичного мира американского Спектакля. От чёрно-белой логики плохо/хорошо, с помощью которой СМИ снабжает информацией дрессирует обывателя.
5. Двуместные операции.
Операции с двумя переменными называются двуместными («бинарными»). Если учитывать третье состояние, а в трёхзначной логике оно учитывается, то всего существует 19683 двуместных операций. Десятки тысяч операций сложно разобрать в одной таблице, как мы поступили с унарными операциями в третьем параграфе. Чтобы учесть их все, нужны математические методы, выходящие за рамки этого обзора.Поэтому о двуместных операциях куда меньше информации в Сети. Основной материал этого постинга взят из второй главы («k-значная логика») книжки С.В. Яблонского «Введение в дискретную математику» , по которой нам и преподавали матлогику на мехмате МГУ. Его применение к трёхзначной логике учитывает ту информацию о советской машине «Сетунь», которую мне передал slobin из школы акад. Брусенцова, разработчика этой машины.
Хэкерство не сводится к науке, т.к. подводит к дзэнскому просветлению, а не исходит из католической схоластики. Но изучение компьютерных наук, как мы видим, способно помочь на пути хэкера.
Интерпретация трёхзначной логики, помогающая освоить её побыстрее, отражает непростое время «цифровой оккупации» страны, в которой мы все живём. За эпиграф отдельное спасибо magenta_13 .
5.1. Конъюнкция и дизъюнкция.
Программисты зарубежных двоичных машин должны помнить простенькие логические операции И, ИЛИ (AND, OR). Математики их называют конъюнкцией x&y (в некоторых работах Брусенцова встречается запись x∧y , как дань уважения Лукашевичу) и дизъюнкцией x∨y соответственно. В трёхзначной логике (если использовать префиксную нотацию ) их проще запомнить, как операции min(x,y) и max(x,y) . Любая трёхзначная функция (сколько угодно аргументов) может быть довольно легко записана с помощью этих двух операций и операций выбора (S + , S , S -) из .Вот карты Карно («таблицы Пифагора») для этих двух операций. Они коммутативны, поэтому можете искать x и y хоть по горизонтали, хоть по вертикали («переместительный закон»). Результат будет на пересечении:
|
|
Если вы научили машину делать отрицание Лукашевича (~x=NOT x), то одна из этих функций избыточна, ведь ~min(x,y)=max(~x,~y) . Теперь разберём смысл, интерпретацию этих двух важнейших операций трёхзначной логики. Сразу заметим, что если на входе нет „третьего состоянья“, то эти две функции неотличимы от соответствующих функций профессора Буля.
5.1.1. Логическое И (конъюнкция).
Операцию A&B=min(A,B) часто называют логическим И (Logical AND). Почему? Представим, что ваш проект зависит от нескольких других. В простейшем случае, от каждого из двух других проектов. Всё получится, если Вася сделает обещанное и у Маши тоже всё получится.Пусть A обозначает "у Васи всё получилось", B это "у Маши всё получилось", а C это "у Васи и Маши всё получилось". Оказывается, что C=A&B . Эту формулу легко доказать, ведь состояний всего три и перебрать все можно довольно быстро:
- Случай, когда и Вася, и Маша справились (оба „+“) понятен. Общий проект получился, результат "логического И" тоже „истина“ („+“). Это единственный случай, когда вы можете твёрдо заявить об успехе.
- Случай, когда кто-нибудь из них не справился („-“) тоже понятен. Независимо от усердства другого, общий проект тоже не удался („-“).
- Если среди проектов есть незавершённые („третье состоянье“), но явных провалов нет, тогда статус общего проекта тоже неизвестен („0“).
5.1.2. Логическое ИЛИ (дизъюнкция).
Вторая операция A∨B=max(A,B) называется логическим ИЛИ (Logical OR). Предположим, что для успеха нашего проекта (C) достаточен успех лишь одного из других. При этом не важно, кто именно добьётся своего - Вася (A) или Маша (B).В этом случае C=A∨B . Разберём возможные случаи:
- Кто-то добился успеха (A=„+“ или B=„+“). Тогда, независимо от статуса другого проекта, мы тоже выиграли (C=„+“).
- Оба проиграли (A=„-“ и B=„-“ одновременно). Это единственный случай, когда удача не на нашей стороне (C=„-“).
- Явных успехов нет ни у кого (A≠„+“ и B≠„+“), но на кого-то ещё осталась надежда (A=„0“ или B=„0“). В этом случае наш проект ещё не окончен (C=„0“).
5.2. Алгебра логики.
Как нам напомнил slobin , трёхзначная логика не является булевым кольцом. У неё свой математический аппарат. Его полезно изучить, ведь это поможет почувствовать трёхзначную логику и смелее в ней оперировать. Все эти законы и свойства легко доказать, перебрав все значения входящих в них переменных.Алгебраический подход заключается в том, чтобы определить над множеством {„-“, „0“, „+“} двуместные {&, ∨} и одноместные {", S, ~} операции с помощью законов, а оставшиеся свойства уже выводить из них алгебраически. При этом наборы законов (системы аксиом ) могут быть разными. Главное, чтобы из каждого набора можно было вывести все оставшиеся (не включённые в набор) свойства в качестве следствий.
1. Переместительный закон
(законы коммутативности). Как я уже написал, операции a&b и a∨b коммутативны:
a&b = b&a
a∨b = b∨a
2. Сочетательный закон
(законы ассоциативности).
a&(b&c) = (a&b)&c
a∨(b∨c) = (a∨b)∨c
3. Распределительный закон
(законы дистрибутивности). Как и в булевской алгебре, каждая из двух операций &, ∨ дистрибутивна
относительно другой (кстати, операция & имеет больший приоритет, чем операция ∨):
a&(b∨c) = a&b ∨ a&c
a ∨ b&c = (a∨b)&(a∨c)
4. Идемпотентность
конъюнкции и дизъюнкции означает, что:
a&a = a
a∨a = a
5. Закон двойного (и тройного) отрицания
. Отрицание Лукашевича ~a и циклическое отрицание a" подчиняются следующим законам:
~~a = a (инволютивность
отрицания Лукашевича, то есть обратность самому себе)
a""" = a
Здесь же можно привести определения двух «крайних» операций выбора. Эти тождества приводились в качестве свойств, когда мы определяли операции выбора с помощью таблиц истинности. Считаем, что циклическое отрицание a" обладает большим приоритетом, чем операции выбора:
S - a = Sa"
S + a = Sa""
6. Свойства констант
в общем-то традиционны:
a & „+“ = a
a & „-“ = „-“
a ∨ „+“ = „+“
a ∨ „-“ = a
~ „-“ = „+“
~ „+“ = „-“
К ним добавлены свойства циклического отрицания констант, фактически его буквальное определение:
„-“ " = „0“
„0“ " = „+“
„+“ " = „-“
Также появились два новых свойства, связанных с неизменностью третьего состоянья при отрицании Лукашевича:
~ „0“ = „0“
~(a & „0“) = ~a ∨ „0“
7. Законы де Моргана
(законы дуальности) используют отрицание Лукашевича. Один из них я уже упомянул:
~(a&b) = ~a ∨ ~b
~(a∨b) = ~a & ~b
8. Законы поглощения
:
a & (a∨b) = a
a ∨ a&b = a
9. Антиизотропность отрицания Лукашевича
использует тот факт, что логические значения строго упорядочены („-“ < „0“ < „+“):
a≤b ⇒ ~a ≥ ~b
Более того, если пользоваться операцией сравнения (см. ниже), то справедливо более сильное утверждение:
a mag b ⇔ ~b mag ~a
Впрочем, из-за наличия меры (состоянья „0“) некоторые законы (например законы дополнительности конъюнкции и дизъюнкции) оказываются неверными. Их место занимают другие законы. Кстати, справедливость некоторых из этих законов ставилась под сомненье целыми математическими школами.
10. Закон несовместности состояний
пришёл на смену закону противоречия
, который в трёхзначной логике неверен. Высказывание a & ~a не всегда ложно, не всегда „-“. Зато выполняются следующие тождества:
Sa & Sa"" = „-“
Sa" & Sa"" = „-“
Sa" & Sa = „-“
Эти тождества означают, что a не может принять два состояния одновременно. Их можно записать с помощью операций S - и S + :
Sa & S + a = „-“
S - a & S + a = „-“
S - a & Sa = „-“
11. Закон полноты состояний
сменил неверный закон исключённого третьего
. Действительно, высказывание a ∨ ~a не всегда истинно, не всегда „+“. Третье дано, поэтому следующее высказывание истинно (оно снова потребует поправки при увеличении числа состояний, например при переходе в четырёхзначную логику):
Sa" ∨ Sa ∨ Sa"" = „+“ , или
S - a ∨ Sa ∨ S + a = „+“
Иногда этот закон формулируют, как закон исключённого четвёртого
:
a ∨ a" ∨ a"" = „+“
12. Закон трёхчленного склеивания
сменил неверный закон склеивания
. В троичной логике a&b ∨ a&~b ≠ a и (a∨b) & (a∨~b) ≠ a , зато:
a&Sb" ∨ a&Sb ∨ a&Sb"" = a , или
a&S - b ∨ a&Sb ∨ a&S + b = a
13. Закон обобщённого трёхчленного склеивания
сменил неверный закон обобщённого склеивания
(теоремы консенсуса
). В троичной логике a&c ∨ b&~c ∨ a&b ≠ a&c ∨ b&~c и (a∨b) & (~a∨c) & (b∨c) ≠ (a∨b) & (~a∨c) , зато:
a&Sd" ∨ b&Sd ∨ c&Sd"" ∨ a&b&c = a&Sd" ∨ b&Sd ∨ c&Sd"" , или
a&S - d ∨ b&Sd ∨ c&S + d ∨ a&b&c = a&S - d ∨ b&Sd ∨ c&S + d
14. Трёхчленный закон Блейка-Порецкого
сменил неверный закон Блейка-Порецкого
. Действительно, a ∨ ~a&b ≠ a∨b и a & (~a∨b) ≠ a&b , зато:
a ∨ Sa"&b ∨ Sa&b = a∨b , или
a ∨ S - a&b ∨ Sa&b = a∨b
5.3. Логическое умножение и сложение по модулю три.
Удивительно, но в таблице команд машины «Сетунь» не было ни конъюнкции, ни дизъюнкции. Наряду с арифметическими операциями там была единственная «функция 20», поразрядное логическое умножение . Это обычное умножение, знакомое нам с детства:| x∧y= =x∙y | - | 0 | + |
|---|---|---|---|
| - | + | 0 | - |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| + | - | 0 | + |
Оно позволяет сохранить, обнулить или изменить знак тритов. Если к обнулённым тритам прибавить (арифметически) единички или минус единички, мы получим всё разнообразие, нужное программистам. Исходя из этого данная логическая операция и была выбрана Брусенцовым для аппаратной реализации в «Сетуни», ведь он экономил пространство команд.
Сложение по модулю три напоминает двоичный XOR. Это обычное сложение, только без переноса: в случае переполнения разрядной сетки оно сохраняет лишь младший трит. Как и двоичный XOR, сложение по модулю три либо оставляет трит неизменным, либо изменяет его (производит операции INC / DEC , в зависимости от знака соответствующего трита).
| x⊕y | - | 0 | + |
|---|---|---|---|
| - | + | - | 0 |
| 0 | - | 0 | + |
| + | 0 | + | - |
Эти две важные и полезные операции не найти у Яблонского. Вместо них русский учёный рассматривал аналогичные операции для троичной системы с базисом (0,1,2) - более сложной в аппаратной реализации, да и не нужной никому.
5.4. Функция Вебба, как надежда русской революции.
Люди, всерьёз интересовавшиеся логикой профессора Буля, помнят штрих Шеффера и стрелку Пирса. Есть ли здесь подобные двуместные операции? Оказывается, есть. Двуместная операция, которую математики называют функцией Вебба (x|y=V 3 (x,y)=INC max(x,y)), позволяет реализовать все другие трёхзначные функции. Вы не ослышались, именно все. И одноместные (например INC x=V 3 (x,x)), и двуместные (например x∨y=INC INC V 3 (x,y)). Разумеется, её таблица истинности напоминает дизъюнкцию:| x|y | - | 0 | + |
|---|---|---|---|
| - | 0 | + | - |
| 0 | + | + | - |
| + | - | - | - |
Вполне возможно, что именно логическим элементам, реализующим функцию Вебба, придётся сыграть роль троичных ЛА3"их (элементов И-НЕ). И от качества реализации этой функции, количества транзисторов будет зависеть эффективность будущих отечественных троичных процессоров.
Впрочем, функция DEC max(x,y) (а возможно, что и INC min(x,y) , DEC min(x,y)) ничем не хуже. Вопрос лишь в том, какую из них мы сможем реализовать наиболее эффективно.
6. Практические нужды.
Этот раздел постепенно дописывается. Я уже полностью описал трёхзначную логику. Но всегда есть некоторые добавления и уточнения, важные для конкретных областей деятельности.6.1. Функции, важные для инженеров.
Есть несколько функций, которые Брусенцов счёл полезными при проектировании троичных устройств. Во-первых, это одноместные арифметические функции отделения двоичных компонент α - , α° и α + , которые легко получаются из логических операций выбора:Во-вторых, это пороговое сложение x+y , которое в отличии от сложения по модулю 3 при переполнении выдаёт самое большое (или самое маленькое) значение, умещающееся в трите. Оно не является ассоциативным, но, по свидетельству Брусенцова, существенно проще в аппаратной реализации:
Стив Грабб предложил и реализовал ещё три двуместные функции. Во-первых, это исключающий максимум (Exclusive Max) x⇑y . Результат этой забавной функции равен максимуму двух операндов или „-“, если эти операнды совпадают:
Последняя из функций, предложенных Стивом Граббом называется сравнение
(Magnitude) x≡y , она сравнивает величины двух аргументов. Значение этой функции „-“, если x
| x≡y | - | 0 | + |
|---|---|---|---|
| - | 0 | + | + |
| 0 | - | 0 | + |
| + | - | - | 0 |
6.2. Функции, важные для математиков.
Некоторые функции имеют мало практического смысла для компьютерщиков, но играют важную роль в математической логике, историческую или научную. Приведу их здесь, для полноты картины. Кто знает, быть может что-то из этого наследства заиграет новыми красками в троичных компьютерах...Пионером троичной логики был поляк Лукашевич. Наше логическое ИЛИ он обозначал x∧y и называл слабой конъюнкцией
, а значком x&y обозначал совсем другую, сильную конъюнкцию
, карта Карно которой приведена ниже. Справа приведена импликация Лукашевича
x→ л y (x по горизонтали), которая важна в модальной логике
:
Свои операции конъюнкции и импликации предложил американец Клини. В его интерпретации третье состоянье означало «неопределено»:
| 7. Итоги.Как я уже отметил, существуют десятки тысяч двуместных операций. Полная таблица будет необозрима. Ниже приводится таблица, содержащая в краткой форме все рассмотренные операции.
8. Четвёртое измеренье состоянье.Разработчики давно поняли, что логика профессора Буля недостаточна для построения компьютера. Так компьютерная сеть «с общей шиной» (например Ethernet) требует объединения всех входов и выходов сетевых карт. Объединение входов понятно, все считывают с общего кабеля одну и ту же информацию. Но что такое объединение выходов? Если один компьютер захочет вывести „1“, а соседний „0“, то что получится на шине, что будут считывать входы?Многие современные схемы используют «третье состоянье» (которое скорее административное, чем логическое) и работают на стыке двоичной и троичной логик. Это состояние называется высокий импеданс («отключено»). В частности, в него переходят Интернет-сайты во время DoS-атак. :-) В случае общей шины все выходы должны уметь находиться в этом, третьем состоянии. И только один из них должен выводить на общую шину нолик или единичку, «ложь» или «истину». Аналогично, если мы хотим воспользоваться всеми преимуществами троичной связи, нам придётся прибегать к четвёртому состоянию «высокого импеданса». Впрочем, четырёхзначная логика легко сводится к двоичной. Просто операции производятся над двумя битиками сразу, а не над одним. Коренное отличие лишь в том, что четырёхзначные операции над битом способны влиять на «парный» бит. Впрочем, описываемое «четвёртое состояние» тоже будет нести не логическую, а «административную» функцию. |
Это разновидность многозначных логик, где отрицается сфера действия закона исключенного третьего (А и. -"Л), вместо которого определено действие закона исключенного четвертого.
Закон исключенного четвертого - принцип трехзначной логики, где высказыванию приписывают три значения истинности: 1) истинно; 2) ложно (х); 3) неопределенно (72)" четвертого не дано.
Итак, трехзначная логика творится как формальная система, в пределах которой вводят третье значение истинности, кроме значений "истинно" или "неправильно".
Третье значение выражают словами "неопределенно", "абсурдно", "неизвестно" и проч.;
К трехзначной логики относятся логические системы Я. Лукасевича, Л. Брауэр - А. Гейтинга, Д. Бочвара, X. Рейхенбаха и др.
Определим особенности трехзначной логики Я. Лукасевича (про другие трехзначные логики - чит. в А. Ішмуратова, А. Конверського).
Трехзначная логика Я. Лукасевича
Была задумана им для адекватной интерпретации высказываний с определенным типом модальности (алетичної, временной и т.д.), поскольку они не могут быть интерпретированы лишь в двух значениях: "истинно" или "неправильно". Хотя трехзначная логика Я. Лукасевича, по мнению логиков, не стала адекватной теории модальных высказываний, но ее считают первой многозначной логической системой, которая положила начало развитию нового направления символической логики - многозначительного логики.
Как формально-логическая система она создана матричным и аксиоматичным способом в такой последовательности: сначала определяют множественность высказываний в системе 5; затем вводят дополнительное (третье) значение истинности, кроме "истинно" и "неправильно", следовательно, высказывания А может приобретать трех значений: 1) "истинно" (и); 2) "неправильно" (х); 3) "неопределенно" (У2).
Я. Лукасевич ввел свою символику для обозначения пропозиційних связь: N - для обозначения отрицания, С - для обозначения импликации, К - для обозначения конъюнкции, А - для обозначения дизъюнкции; х, у, г - для обозначения пропозиційних переменных, а также 1 - для обозначения истинности высказывания; 0 - для обозначения ложности высказывания; "/*- для обозначения третьего значения истинности - "неопределенно" ("нейтрально").
Однако для описания логики Я. Лукасевича используем "более привычное", т.е. знаковую, а не буквенную символику.
А, В, С - символы для обозначения пропозиційних переменных (высказываний);
И, х, х/ - символы для обозначения істиннісного значения высказываний;
--", Л, V, -> - символы для обозначения пропозиційних постоянных (логических) союзов;
Аксиоматический способ построения трехзначной логики означает построение счисления задается аксиомами. Система аксиом трехзначной логики Я. Лукасевича, содержит более десятка аксиом. Назовем несколько из них:
Закон исключенного третьего в трехзначной логике Я. Лукасевича не является аксиомой (законом).
Интерпретация трехзначных логик и других многозначных логик может быть осуществлена в таких сферах познания - наука, философия, информатика и др.; в сфере прикладных логических исследований - юридическая теория и практика, экономическая теория и практика, теория искусственного интеллекта, компьютерная логика и т.п., когда в определенном контексте высказывания не имеют точно определенных двух значений истинности, тогда им предоставляется п > 2 істиннісних значений.
Первую интерпретацию трехзначной логики Я. Лукасевича как формальной системы осуществил немецкий философ и логик X. Рейхенбах (1891-1953) с целью преодоления ряда философских и логико-методологических проблем, возникших в квантовой физике, и точного описания физического знания в области квантовой физики. Для этого X. Рейхенбах создал формальную систему, которая получила название "квантовая логика". В ее пределах высказыванием, что по смыслу выражают знания о квантовые явления, в частности о движении элементарных частиц, предоставляют следующие значения истинности: истинно; ложно; неопределенное. Пример такого высказывания: "В своем движении (рассеивании) через экран, который имеет две щели А и В, электрон, возможно, пройдет через щель А в £ ".
Квантовую логику X. Рейхенбаха, Хао Вана и безмежнозначні системы в квантовой логике рассмотрел детально ученый В. Васюков.
наиболее Адекватно трехзначная логика может быть интерпретирована в теории прогнозирования, которая разрабатывает методы прогнозирования дальнейшего развития явлений, процессов, событий в будущем или отбытия определенного события в будущем, например, прогнозирование о потеплении климата вследствие негативного влияния деятельности человека на "окружающей среды или прогнозы о "конец света".
Итак, когда выстраивают систему прогнозирования (прогнозируют), то высказывание, что по смыслу определяют измерение объекта соображений, направленный на будущее, приобретают л > 2 істиннісних значений и, соответственно, можно установить условия (факторы), при которых значения истинности высказываний будет приближаться к 1 (абсолютного значения истинности в вероятностной логике). В этом смысле многозначная логика имеет определенные общие признаки с вероятностной логикой, оперирующей модальностями "вероятно", "мало вероятно", "вероятно" и определяет условия (факторы), при которых повышается степень вероятности истинности высказывания, а также с алетичною логике, которая оперирует модальностями "необходимо", "возможно", "случайно".
В сфере юридической практики существует ситуация допроса, ситуация судебного процесса, когда субъект правонарушения (подозреваемый, обвиняемый, подсудимый) дает показания, то есть отвечает на вопросы следователя, судьи и других участников судебного процесса. С точки зрения многозначительной логики, показы субъекта правонарушения могут оказаться неточными, неопределенными по значению истинности (путаница в показаниях) и приобрести таких вариантов:
1. Показы субъекта х правдивые (истинные) - и.
2. Показы субъекта х не истинные (ложные) - х.
3. Показы субъекта х неопределенные (неопределенно: говорит истину или обманывает) - 1/2-
Трехзначная и четырехзначная логики Я. Лукасевича созданы для описания и анализа модальных высказываний, которые являются объектом исследования модальной логики.
Она является простейшим расширением двузначной логики .
Чёткую математическую троичную логику, в которой имеется три чётких значения (0,1,2), (-1,0,+1), (0,1/2,1) и др. часто путают с нечёткой троичной логикой, которая является частным случаем нечёткой логики c тремя значениями, одно, два или все три из которых - не чёткие.
Схемы с 3-4-значной логикой дают возможность сократить количество используемых логических и запоминающих элементов, а также межэлементных соединений. Схемы трёхзначной логики легко реализуются на КМОП -технологии. Трёхзначная логика обладает большей выразительностью, чем двухзначная. Например, существует лишь 16 комбинаций входов-выходов двухвходового двоичного вентиля, тогда как у аналогичного троичного вентиля таких комбинаций 19683.
- Ресурс, посвященный троичной информатике и цифровой технике
- Практическое применение троичной логики и её преимущества над двоичной
- Васильев Н. И. Воображаемая логика. - М .: Наука, 1989.
- Карпенко А. С. Многозначные логики // Логика и компьютер. Вып. №4. - М .: Наука, 1997.
- Кэррол Льюис Символическая логика // Льюис Кэррол. История с узелками. - М .: Мир, 1973.
- Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. - М .: Иностранная литература, 1959.
- Слинин Я. А. Современная модальная логика. - Л. : Издательство Ленинградского университета, 1976.
- Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. - М .: Наука, 1967.
- Гетманова А. Д. Учебник по логике. - М .: Владос, 1995. - С. 259-268. - 303 с. - ISBN 5-87065-009-7
- Толковый словарь по вычислительным системам / Под ред. В. Иллингуорта и др.. - М .: Машиностроение, 1990. - 560 с. - ISBN 5-217-00617-X
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Троичная логика" в других словарях:
троичная логика
Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… … Википедия
- (двузначная логика) это логика, основанная на двух утверждениях. Истина (логическая единица) и ложь (логический нуль). Из за простоты реализации получила широкое распространение в вычислительной технике. В вычислительной технике разделяют… … Википедия
Двоичная логика (двузначная логика) это логика, основанная на двух утверждениях. Истина (логическая единица) и ложь (логический нуль). Из за простоты реализации получила широкое распространение в вычислительной технике. В вычислительной технике… … Википедия
трехзначная логика - trireikšmė logika statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. ternary logic; three value logic vok. dreiwertige Logik, f; ternäre Logik, f rus. трехзначная логика, f; троичная логика, f pranc. logique ternaire, f … Automatikos terminų žodynas
Проверить нейтральность. На странице обсуждения должны быть подробности. Троичный компьютер компьютер, построенный на двоичных и троичных логических элементах и узлах, работающий в двоичной и … Википедия
Троичный триггер электронное, механическое, пневматическое, гидравлическое или другое устройство, имеющее три устойчивых состояния, возможность переключения из любого одного из трёх устойчивых состояний в любое из двух других устойчивых состояний … Википедия
Возможно, эта статья содержит оригинальное исследование. Добавьте ссылки на источники, в противном случае она может быть выставлена на удаление. Дополнительные сведения могут быть на странице обсуждения. (11 мая 2011) … Википедия
Троичной функцией в теории функциональных систем и троичной логике называют функцию типа, где троичное множество, а неотрицательное целое число, которое называют арностью или местностью функции. Элементы множества цифровые… … Википедия
Информация, которой оперирует компьютер, так или иначе раскладывается на единицы и нули — графика, музыка, тексты, алгоритмы программ. Все просто и понятно: «включено» — «выключено», «есть сигнал» — «нет сигнала». Либо« истина», либо« ложь» — двоичная логика. А между тем еще в 1961-м, в год первого полета человека в космос, в Советском Союзе наладили производство необычных вычислительных машин, оперировавших не двоичной, а троичной логикой
Александр Петров
«Лишняя» переменная Недвухзначность логики восходит к основоположнику первой законченной логической теории — Аристотелю, который между утверждением и антиутверждением помещал третье «привходящее» — «может да, а может нет». В последующем развитии логика была упрощена за счет отказа от этого третьего состояния и в таком виде оказалась необычайно живучей, несмотря на свое несоответствие нечеткой, не всегда раскладывающейся на «да» и «нет» действительности. В разные века «расширить» логику пытались Оккам, Лейбниц, Гегель, Кэрролл и некоторые другие мыслители, в конечном же виде трехзначную логику разработал в начале XX века польский ученый Ян Лукасевич.
«Сетунь» Несмотря на то что впоследствии команда Брусенцова разработала вторую модель «Сетунь-70», а в США в 1970-х годах шла работа над аналогичной ЭВМ Ternac, «Сетунь» осталась единственным в истории троичным компьютером, производившимся серийно.
В принципе, у троичной системы счисления было не меньше шансов, чем у двоичной. Кто знает, по какому пути развития пошел бы технический прогресс, если бы «трайты» одержали победу над «байтами». Как выглядели бы современные смартфоны или GPS-навигаторы, как отразилось бы значение «может быть» на их быстродействии? Сложно сказать. Мы проанализируем этот вопрос, а вам предоставим возможность сделать выводы самостоятельно.
Машина Фоулера
Справедливости ради сразу следует заметить: первую вычислительную машину с троичной системой счисления задолго до советских конструкторов построил английский изобретатель-самоучка Томас Фоулер в далеком 1840 году. Его машина была механической и полностью деревянной.
Томас Фоулер работал банковским служащим и по роду деятельности был вынужден производить сложные вычисления. Чтобы облегчить и ускорить свою работу, он сделал таблицы для счета степенями двойки и тройки, а позже опубликовал эти таблицы в виде брошюры.
Затем он пошел дальше, решив полностью автоматизировать расчеты по таблицам, и построил счетную машину. Английская патентная система того времени была несовершенна, предыдущее изобретение Фоулера (термосифон для систем парового отопления) было скопировано с минимальными изменениями и запатентовано множеством недобросовестных «изобретателей», поэтому, опасаясь, что его идею снова могут украсть, он решил изготовить машину в единственном экземпляре и — из дерева. Так как дерево — материал ненадежный, для обеспечения достаточной точности вычислений Фоулеру пришлось сделать машину весьма громоздкой, около 2 м в длину. Впрочем, как писал сам изобретатель в сопроводительной записке, отправляя машину в Лондонский королевский колледж, «если бы ее можно было изготовить из металла, она бы оказалась не больше пишущей машинки».
Машина Фоулера была проста, эффективна и использовала новаторский подход: вместо десятичной системы счисления оперировала «триадами», то есть степенями тройки. К сожалению, замечательное изобретение так и осталось незамеченным, оригинал машины не сохранился до наших времен, и о ее устройстве известно только из сочинения Фоулера-младшего, написавшего биографию отца.
Первые советские опыты
О практическом использовании троичной системы счисления забыли более чем на сто лет. Следующими, кто вернулся к этой идее, были инженеры с кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ.
Все началось в 1954 году: кафедре должны были передать электронно-вычислительную машину М-2, но не сложилось. А машину-то ждали, готовились ее устанавливать и налаживать, с нею связывались определенные ожидания и планы. И кто-то предложил: давайте построим свою.
Взяли — и построили, благо в то время в МГУ существовали некоторые теоретические наработки. Руководителем группы, осуществлявшей проектирование и изготовление машины, был назначен Николай Петрович Брусенцов. Задача была такая: сделать машину предельно простой и недорогой (потому что никакого специального финансирования у проекта не было). Поначалу собирались делать двоичную ЭВМ, но позже — как раз из соображений экономичности и простоты архитектуры — пришли к решению, что она будет троичной, использующей «естественный» троичный симметричный код, простейший из симметричных кодов.
К концу 1958 года был закончен первый экземпляр машины, которой дали имя «Сетунь» — по названию московской речки. «Сетунь» была относительно невелика для вычислительных машин того поколения и занимала площадь 25−30 м2. Благодаря своей изящной архитектуре она была способна выполнять 2000−4500 операций в секунду, обладала оперативной памятью в 162 девятитритных ячейки и запоминающим устройством на магнитном барабане емкостью 36−72 страницы по 54 ячейки каждая. Машинных команд было всего 27 (причем три так и остались невостребованными), благодаря чему программный код получался весьма экономным; программирование непосредственно в машинных кодах было настолько простым, что для «Сетуни» даже не разрабатывали свой ассемблер. Данные вводили в машину с перфоленты, результаты выводились на телетайп (причем, что любопытно, отрицательные цифры печатались как обычные, но перевернутые кверху ногами). При эксплуатации машина показывала 95−98% полезного времени (расходуемого на решение задач, а не на поиск неисправностей и устранение неполадок), а в те времена очень хорошим результатом считалось, если машина могла дать хотя бы 60%.
На межведомственных испытаниях 1960 года машину признали пригодной для массового использования в КБ, лабораториях и вузах, последовало распоряжение о серийном выпуске «Сетуни» на Казанском заводе математических машин. С 1961 по 1965 год было построено 50 экземпляров, которые работали по всей стране. Затем производство свернули. Почему перестали выпускать «Сетунь», если она успешно использовалась всюду от Калининграда до Якутска? Одна из возможных причин в том, что компьютер оказался слишком дешевым в производстве и потому невыгодным для завода. Другая причина- косность бюрократических структур, противодействие ощущалось на каждом из этапов.
Впоследствии Николай Брусенцов и Евгений Жоголев разработали более современную версию машины, использовавшую те же принципы троичности, — «Сетунь-70″, но она так и не пошла в серийное производство, единственный опытный образец работал в МГУ до 1987 года.
Трехзначная логика
Двухзначная математическая логика, которая повсеместно царит в мире компьютерной и прочей «интеллектуальной» техники, по мнению создателя троичного компьютера Николая Брусенцова, не соответствует здравому смыслу: «закон исключенного третьего» отрезает иные заключения, кроме «истины» и «не-истины», а между тем процесс познания реальности человеком отнюдь не сводится к дихотомии «да/нет». Поэтому, утверждает Брусенцов, чтобы стать интеллектуальным, компьютеру следует быть троичным.
Трехзначная логика отличается от двухзначной тем, что кроме значений «истина» и «ложь» существует третье, которое понимается как «не определено», «нейтрально» или «может быть». При этом сохраняется совместимость с двухзначной логикой — логические операции с «известными» значениями дают те же результаты.
Логике, оперирующей тремя значениями, естественным образом соответствует троичная система счисления — троичная симметричная, если говорить точнее, простейшая из симметричных систем. К этой системе впервые обратился Фибоначчи для решения своей «задачи о гирях».
В троичной симметричной системе используются цифры: -1, 0 и 1 (или, как их еще обозначают, -, 0 и +). Преимущества ее как симметричной системы состоят в том, что, во‑первых, не нужно как-то особо отмечать знак числа — число отрицательно, если его ведущий разряд отрицателен, и наоборот, а инвертирование (смена знака) числа производится путем инвертирования всех его разрядов; во‑вторых, округление здесь не требует каких-то специальных правил и производится простым обнулением младших разрядов.
Кроме того, из всех позиционных систем счисления троичная наиболее экономична — в ней можно записать большее количество чисел, нежели в любой другой системе, при равном количестве используемых знаков: так, например, в десятичной системе, чтобы представить числа от 0 до 999, потребуется 30 знаков (три разряда, десять возможных значений для каждого), в двоичной системе теми же тридцатью знаками можно закодировать числа в диапазоне от 0 до 32767, а в троичной — от 0 до 59048. Самой экономичной была бы система счисления с основанием, равным числу Эйлера (e = 2,718…), и 3 — наиболее близкое к нему целое.
Если в привычных нам двоичных компьютерах информация измеряется в битах и байтах, то компьютеры на троичной системе счисления оперируют новыми единицами: тритами и трайтами. Трит — это один троичный разряд; подобно тому, как бит может принимать значения 0 и 1 («ложь» и"истина»), трит может быть (+), (0) или (-) (то есть «истина», «неизвестно» или «ложь»).
Один трайт традиционно (так было на «Сетуни») равен шести тритам и может принимать 729 различных значений (байт — только 256). Впрочем, возможно, в будущем трайты станут 9- или 27-разрядными, что естественнее, так как это степени тройки.
Настоящее и будущее троичных компьютеров
После «Сетуни» было несколько экспериментальных проектов, осуществлявшихся энтузиастами (таких, например, как американские Ternac и TCA2), однако это были либо весьма несовершенные машины, далекие от двоичных аналогов, либо и вовсе программные эмуляции на двоичном «железе».
Основная причина состоит в том, что использование в компьютерах троичных элементов пока не дает никаких существенных преимуществ перед двоичными: выпуск последних налажен массово, они проще и дешевле по себестоимости. Даже будь сейчас построен троичный компьютер, недорогой и по своим характеристикам сравнимый с двоичными, он должен быть полностью совместим с ними. Уже разработчики «Сетуни-70» столкнулись с необходимостью обеспечить совместимость: чтобы обмениваться информацией с другими университетскими машинами, пришлось добавить возможность читать с перфолент двоичные данные и при выводе также конвертировать данные в двоичный формат.
Однако нельзя сказать, что троичный принцип в компьютеростроении — это безнадежный анахронизм. В последнее десятилетие возникла необходимость в поиске новых компьютерных технологий, и некоторые из этих технологий лежат в области троичности.
Одно из таких исследовательских направлений — поиск альтернативных способов увеличения производительности процессоров. Каждые 24 месяца число транзисторов в кристалле процессора увеличивается примерно вдвое — эта тенденция известна как «закон Мура», и вечно продолжаться она не может: масштабы элементов и связей можно измерить в нанометрах, и очень скоро разработчики столкнутся с целым рядом технических сложностей. Кроме того, есть и экономические соображения — чем меньше, тем дороже разработки и производство. И с какого-то момента окажется дешевле поискать альтернативные способы делать процессоры мощнее, нежели продолжать гонку за нанометрами, — обратиться к технологиям, от которых раньше отказывались как от нерентабельных. Переход от однородных кремниевых структур к гетеропереходным проводникам, состоящим из слоев различных сред и способным генерировать несколько уровней сигнала вместо привычных «есть» и «нет», — это возможность повысить интенсивность обработки информации без увеличения количества элементов (и дальнейшего уменьшения их размеров). При этом от двухзначной логики придется перейти к многозначным — трехзначной, четырехзначной и т. д.
Другое направление, также нацеленное на увеличение производительности, — разработки в области асинхронных процессоров. Известно, что обеспечение синхронности процессов в современных компьютерах изрядно усложняет архитектуру и расходует процессорные ресурсы — до половины всех транзисторов в чипе работает на обеспечение этой самой синхронности. Компания Theseus Logic предлагает использовать «расширенную двоичную» (фактически — троичную) логику, где помимо обычных значений «истина» и «ложь» есть отдельный сигнал «NULL», который используется для самосинхронизации процессов. В этом же направлении работают еще несколько исследовательских групп.
Есть и более фантастические направления, где оправдано использование трехзначной логики: оптические и квантовые компьютеры.