НоΔ y = Δ f (х 0) – приращение функции, а f  (х 0) Δx = d f (х 0) – дифференциал функции.

Поэтому окончательно получаем

Теорема 1. Пусть функция у = f (х ) в точке х 0 имеет конечную производную f  (х 0)≠0. Тогда для достаточно малых значений Δxимеет место приближенное равенство (1), которое становится сколь угодно точным при Δx → 0.

Таким образом, дифференциал функции в точке х 0 приближенно равен приращению функции в этой точке.

Т.к. то из равенства (1) получаем

при Δx → 0 (2)

при x → х 0 (2  )

Поскольку уравнение касательной к графику функции y = f (x ) в точке х 0 имеет вид

То приближенные равенства (1)-(2) геометрически означают, что вблизи точки x=x 0 график функции у=f (х ) приближенно заменяется касательной к кривой у = f (х ).

При достаточно малых значениях полное приращение функции и дифференциал отличаются незначительно, т.е. . Это обстоятельство используется для приближенных вычислений.

Пример 1. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию и положим х 0 = 4, х = 3,98. Тогда Δx = x – x 0 = – 0,02, f (x 0)= 2. Поскольку , то f  (х 0)=1/4=0,25. Поэтому по формуле (2) окончательно получаем: .

Пример 2. С помощью дифференциала функции установить, на сколько приближенно изменится значение функции y =f (х )=(3x 3 +5)∙tg4x при уменьшении значения ее аргумента х 0 = 0 на 0,01.

Решение. В силу (1) изменение функции у = f (х ) в точке х 0 приближенно равно дифференциалу функции в этой точке при достаточно малых значениях Dx :

Вычислим дифференциал функции df (0). Имеем Dx = –0,01. Так как f  (х )= 9x 2 ∙tg4x + ((3x 3 +5)/ cos 2 4x )∙4, то f  (0)=5∙4=20 и df (0)=f  (0)∙Δx = 20·(–0,01) = –0,2.

Поэтому Δf (0) ≈ –0,2, т.е. при уменьшении значения х 0 = 0 аргумента функции на 0,01 само значение функции y =f (х ) приближенно уменьшится на 0,2.

Пример 3. Пусть функция спроса на товар имеет вид . Требуется найти объем спроса на товар при цене p 0 =3 ден.ед. и установить, на сколько приближенно увеличится спрос при уменьшении цены товара на 0,2 ден.ед.

Решение. При цене p 0 =3 ден.ед. объем спроса Q 0 =D (p 0)=270/9=30 ед. товара. Изменение цены Δp = –0,2 ден. ед. В силу (1) ΔQ (p 0) ≈ dQ (p 0). Вычислим дифференциал объема спроса на товар.

Поскольку, то D  (3) = –20 и

дифференциал объема спроса dQ (3) = D  (3)∙Δp = –20·(–0,2) = 4. Следовательно, ΔQ (3) ≈ 4, т.е. при уменьшении цены товара p 0 =3 на 0,2 ден.ед. объем спроса на товар увеличится приближенно на 4 ед.товара и станет равным приближенно 30+4=34 ед.товара.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется дифференциалом функции?

2. Каков геометрический смысл дифференциала функции?

3. Перечислите основные свойства дифференциала функции.

3. Напишите формулы, позволяющие находить приближенное значение функции при помощи её дифференциала.

По аналогии с линеаризацией функции одной переменной можно при приближенном вычислении значений функции нескольких переменных, дифференцируемой в некоторой точке, заменять ее приращение дифференциалом. Таким образом, можно находить приближенное значение функции нескольких (например, двух) переменных по формуле:

Пример.

Вычислить приближенное значение
.

Рассмотрим функцию
и выберемх 0 = 1, у 0 = 2. Тогда Δх = 1,02 – 1 = 0,02; Δу = 1,97 – 2 = -0,03. Найдем
,

Следовательно, учитывая, что f (1, 2) = 3, получим:

Дифференцирование сложных функций.

Пусть аргументы функции z = f (x , y ) u и v : x = x (u , v ), y = y (u , v ). Тогда функция f тоже есть функция от u и v . Выясним, как найти ее частные производные по аргументам u и v , не делая непосредственной подстановки

z = f (x(u, v), y(u, v)). При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют частные производные по всем своим аргументам.

Зададим аргументу u приращение Δ u , не изменяя аргумент v . Тогда

Если же задать приращение только аргументу v , получим: . (2.8)

Разделим обе части равенства (2.7) на Δu , а равенства (2.8) – на Δv и перейдем к пределу соответственно при Δu → 0 и Δv → 0. Учтем при этом, что в силу непрерывности функций х и у . Следовательно,

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Пусть x = x (t ), y = y (t ). Тогда функция f (x , y ) является фактически функцией одной переменной t , и можно, используя формулы (2.9) и заменяя в них частные производные х и у по u и v на обычные производные по t (разумеется, при условии дифференцируемости функций x (t ) и y (t ) ) , получить выражение для :

(2.10)

Предположим теперь, что в качестве t выступает переменная х , то есть х и у связаны соотношением у = у (х). При этом, как и в предыдущем случае, функция f является функцией одной переменной х. Используя формулу (2.10) при t = x и учитывая, что
, получим, что

. (2.11)

Обратим внимание на то, что в этой формуле присутствуют две производные функции f по аргументу х : слева стоит так называемая полная производная , в отличие от частной, стоящей справа.

Примеры.

Тогда из формулы (2.9) получим:

(В окончательный результат подставляем выражения для х и у как функций u и v ).

Найдем полную производную функции z = sin (x + y ²), где y = cos x .

Инвариантность формы дифференциала.

Воспользовавшись формулами (2.5) и (2.9), выразим полный дифференциал функции z = f (x , y ) , где x = x (u , v ), y = y (u , v ), через дифференциалы переменных u и v :

(2.12)

Следовательно, форма записи дифференциала сохраняется для аргументов u и v такой же, как и для функций этих аргументов х и у , то есть является инвариантной (неизменной).

Неявные функции, условия их существования. Дифференцирование неявных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.

Определение 3.1. Функция у от х , определяемая уравнением

F (x, y) = 0 , (3.1)

называется неявной функцией .

Конечно, далеко не каждое уравнение вида (3.1) определяет у как однозначную (и, тем более, непрерывную) функцию от х . Например, уравнение эллипса

задает у как двузначную функцию от х :
для

Условия существования однозначной и непрерывной неявной функции определяются следующей теоремой:

Теорема 3.1 (без доказательства). Пусть:

а) в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0 ) уравнение (3.1) определяет у как однозначную функцию от х : y = f (x ) ;

б) при х = х 0 эта функция принимает значение у 0 : f (x 0 ) = y 0 ;

в) функция f (x ) непрерывна.

Найдем при выполнении указанных условий производную функции y = f (x ) по х .

Теорема 3.2. Пусть функция у от х задается неявно уравнением (3.1), где функция F (x , y ) удовлетворяет условиям теоремы 3.1. Пусть, кроме того,
- непрерывные функции в некоторой областиD , содержащей точку (х,у), координаты которой удовлетворяют уравнению (3.1), причем в этой точке
. Тогда функцияу от х имеет производную

(3.2)

Пример. Найдем , если
. Найдем
,
.

Тогда из формулы (3.2) получаем:
.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Частные производные функции z = f (x , y ) являются, в свою очередь, функциями переменных х и у . Следовательно, можно найти их частные производные по этим переменным. Обозначим их так:

Таким образом, получены четыре частные производные 2-го порядка. Каждую из них можно вновь продифференцировать по х и по у и получить восемь частных производных 3-го порядка и т.д. Определим производные высших порядков так:

Определение 3.2. Частной производной n -го порядка функции нескольких переменных называется первая производная от производной (n – 1)-го порядка.

Частные производные обладают важным свойством: результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования (например,
). Докажем это утверждение.

Теорема 3.3. Если функция z = f (x , y ) и ее частные производные
определены и непрерывны в точкеМ (х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке

(3.3)

Следствие . Указанное свойство справедливо для производных любого порядка и для функций от любого числа переменных.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

На данном уроке мы рассмотрим широко распространенную задачу о приближенном вычислении значения функции с помощью дифференциала . Здесь и далее речь пойдёт о дифференциалах первого порядка, для краткости я часто буду говорить просто «дифференциал». Задача о приближенных вычислениях с помощью дифференциала обладает жёстким алгоритмом решения, и, следовательно, особых трудностей возникнуть не должно. Единственное, есть небольшие подводные камни, которые тоже будут подчищены. Так что смело ныряйте головой вниз.

Кроме того, на странице присутствуют формулы нахождения абсолютной и относительной погрешность вычислений. Материал очень полезный, поскольку погрешности приходится рассчитывать и в других задачах. Физики, где ваши аплодисменты? =)

Для успешного освоения примеров необходимо уметь находить производные функций хотя бы на среднем уровне, поэтому если с дифференцированием совсем нелады, пожалуйста, начните с урока Как найти производную? Также рекомендую прочитать статью Простейшие задачи с производной , а именно параграфы о нахождении производной в точке и нахождении дифференциала в точке . Из технических средств потребуется микрокалькулятор с различными математическими функциями. Можно использовать Эксель, но в данном случае он менее удобен.

Практикум состоит из двух частей:

– Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной.

– Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных.

Кому что нужно. На самом деле можно было разделить богатство на две кучи, по той причине, что второй пункт относится к приложениям функций нескольких переменных . Но что поделать, вот люблю я длинные статьи.

Приближенные вычисления
с помощью дифференциала функции одной переменной

Рассматриваемое задание и его геометрический смысл уже освещёны на уроке Что такое производная? , и сейчас мы ограничимся формальным рассмотрением примеров, чего вполне достаточно, чтобы научиться их решать.

В первом параграфе рулит функция одной переменной. Как все знают, она обозначается через или через . Для данной задачи намного удобнее использовать второе обозначение. Сразу перейдем к популярному примеру, который часто встречается на практике:

Пример 1

Решение: Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала :

Начинаем разбираться, здесь всё просто!

На первом этапе необходимо составить функцию . По условию предложено вычислить кубический корень из числа: , поэтому соответствующая функция имеет вид: . Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение .

Смотрим на левую часть формулы , и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде . Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе:
– получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения.

В качестве подбираем «хорошее» значение, чтобы корень извлекался нацело . Естественно, это значение должно быть как можно ближе к 67. В данном случае: . Действительно: .

Примечание: Когда с подбором всё равно возникает затруднение, просто посмотрите на скалькулированное значение (в данном случае ), возьмите ближайшую целую часть (в данном случае 4) и возведите её нужную в степень (в данном случае ). В результате и будет выполнен нужный подбор: .

Если , то приращение аргумента: .

Итак, число 67 представлено в виде суммы

Сначала вычислим значение функции в точке . Собственно, это уже сделано ранее:

Дифференциал в точке находится по формуле:
– тоже можете переписать к себе в тетрадь.

Из формулы следует, что нужно взять первую производную:

И найти её значение в точке :

Таким образом:

Всё готово! Согласно формуле :

Найденное приближенное значение достаточно близко к значению , вычисленному с помощью микрокалькулятора.

Ответ:

Пример 2

Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом.

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Начинающим сначала рекомендую вычислить точное значение на микрокалькуляторе, чтобы выяснить, какое число принять за , а какое – за . Следует отметить, что в данном примере будет отрицательным.

У некоторых, возможно, возник вопрос, зачем нужна эта задача, если можно всё спокойно и более точно подсчитать на калькуляторе? Согласен, задача глупая и наивная. Но попытаюсь немного её оправдать. Во-первых, задание иллюстрирует смысл дифференциала функции. Во-вторых, в древние времена, калькулятор был чем-то вроде личного вертолета в наше время. Сам видел, как из местного политехнического института году где-то в 1985-86 выбросили компьютер размером с комнату (со всего города сбежались радиолюбители с отвертками, и через пару часов от агрегата остался только корпус). Антиквариат водился и у нас на физмате, правда, размером поменьше – где-то с парту. Вот так вот и мучились наши предки с методами приближенных вычислений. Конная повозка – тоже транспорт.

Так или иначе, задача осталась в стандартном курсе высшей математики, и решать её придётся. Это основной ответ на ваш вопрос =)

Пример 3

в точке . Вычислить более точное значение функции в точке с помощью микрокалькулятора, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Фактически то же самое задание, его запросто можно переформулировать так: «Вычислить приближенное значение с помощью дифференциала»

Решение: Используем знакомую формулу:
В данном случае уже дана готовая функция: . Ещё раз обращаю внимание, что для обозначения функции вместо «игрека» удобнее использовать .

Значение необходимо представить в виде . Ну, тут легче, мы видим, что число 1,97 очень близко к «двойке», поэтому напрашивается . И, следовательно: .

Используя формулу , вычислим дифференциал в этой же точке.

Находим первую производную:

И её значение в точке :

Таким образом, дифференциал в точке:

В результате, по формуле :

Вторая часть задания состоит в том, чтобы найти абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Абсолютная и относительная погрешность вычислений

Абсолютная погрешность вычислений находится по формуле:

Знак модуля показывает, что нам без разницы, какое значение больше, а какое меньше. Важно, насколько далеко приближенный результат отклонился от точного значения в ту или иную сторону.

Относительная погрешность вычислений находится по формуле:
, или, то же самое:

Относительная погрешность показывает, на сколько процентов приближенный результат отклонился от точного значения. Существует версия формулы и без домножения на 100%, но на практике я почти всегда вижу вышеприведенный вариант с процентами.

После короткой справки вернемся к нашей задаче, в которой мы вычислили приближенное значение функции с помощью дифференциала.

Вычислим точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
, строго говоря, значение всё равно приближенное, но мы будем считать его точным. Такие уж задачи встречаются.

Вычислим абсолютную погрешность:

Вычислим относительную погрешность:
, получены тысячные доли процента, таким образом, дифференциал обеспечил просто отличное приближение.

Ответ: , абсолютная погрешность вычислений , относительная погрешность вычислений

Следующий пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке . Вычислить более точное значение функции в данной точке, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Многие обратили внимание, что во всех рассмотренных примерах фигурируют корни. Это не случайно, в большинстве случаев в рассматриваемой задаче действительно предлагаются функции с корнями.

Но для страждущих читателей я раскопал небольшой пример с арксинусом:

Пример 5

Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке

Этот коротенький, но познавательный пример тоже для самостоятельного решения. А я немного отдохнул, чтобы с новыми силами рассмотреть особое задание:

Пример 6

Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до двух знаков после запятой.

Решение: Что нового в задании? По условию требуется округлить результат до двух знаков после запятой. Но дело не в этом, школьная задача округления, думаю, не представляет для вас сложностей. Дело в том, что у нас дан тангенс с аргументом, который выражен в градусах . Что делать, когда вам предлагается для решения тригонометрическая функция с градусами? Например, и т. д.

Алгоритм решения принципиально сохраняется, то есть необходимо, как и в предыдущих примерах, применить формулу

Записываем очевидную функцию

Значение нужно представить в виде . Серьёзную помощь окажет таблица значений тригонометрических функций . Кстати, кто её не распечатал, рекомендую это сделать, поскольку заглядывать туда придется на протяжении всего курса изучения высшей математики.

Анализируя таблицу, замечаем «хорошее» значение тангенса, которое близко располагается к 47 градусам:

Таким образом:

После предварительного анализа градусы необходимо перевести в радианы . Так, и только так!

В данном примере непосредственно из тригонометрической таблицы можно выяснить, что . По формуле перевода градусов в радианы: (формулы можно найти в той же таблице).

Дальнейшее шаблонно:

Таким образом: (при вычислениях используем значение ). Результат, как и требовалось по условию, округлён до двух знаков после запятой.

Ответ:

Пример 7

Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до трёх знаков после запятой.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Как видите, ничего сложного, градусы переводим в радианы и придерживаемся обычного алгоритма решения.

Приближенные вычисления
с помощью полного дифференциала функции двух переменных

Всё будет очень и очень похоже, поэтому, если вы зашли на эту страницу именно этим заданием, то сначала рекомендую просмотреть хотя бы пару примеров предыдущего пункта.

Для изучения параграфа необходимо уметь находить частные производные второго порядка , куда ж без них. На вышеупомянутом уроке функцию двух переменных я обозначал через букву . Применительно к рассматриваемому заданию удобнее использовать эквивалентное обозначение .

Как и для случая функции одной переменной, условие задачи может быть сформулировано по-разному, и я постараюсь рассмотреть все встречающиеся формулировки.

Пример 8

Решение: Как бы ни было записано условие, в самом решении для обозначения функции, повторюсь, лучше использовать не букву «зет», а .

А вот и рабочая формула:

Перед нами фактически старшая сестра формулы предыдущего параграфа. Переменная только прибавилась. Да что говорить, сам алгоритм решения будет принципиально таким же !

По условию требуется найти приближенное значение функции в точке .

Число 3,04 представим в виде . Колобок сам просится, чтобы его съели:
,

Число 3,95 представим в виде . Дошла очередь и до второй половины Колобка:
,

И не смотрите на всякие лисьи хитрости, Колобок есть – надо его съесть.

Вычислим значение функции в точке :

Дифференциал функции в точке найдём по формуле:

Из формулы следует, что нужно найти частные производные первого порядка и вычислить их значения в точке .

Вычислим частные производные первого порядка в точке :

Полный дифференциал в точке :

Таким образом, по формуле приближенное значение функции в точке :

Вычислим точное значение функции в точке :

Вот это значение является абсолютно точным.

Погрешности рассчитываются по стандартным формулам, о которых уже шла речь в этой статье.

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Ответ: , абсолютная погрешность: , относительная погрешность:

Пример 9

Вычислить приближенное значение функции в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность.

Это пример для самостоятельного решения. Кто остановится подробнее на данном примере, тот обратит внимание на то, что погрешности вычислений получились весьма и весьма заметными. Это произошло по следующей причине: в предложенной задаче достаточно велики приращения аргументов: . Общая закономерность такова – чем больше эти приращения по абсолютной величине, тем ниже точность вычислений. Так, например, для похожей точки приращения будут небольшими: , и точность приближенных вычислений получится очень высокой.

Данная особенность справедлива и для случая функции одной переменной (первая часть урока).

Пример 10

Решение : Вычислим данное выражение приближенно с помощью полного дифференциала функции двух переменных:

Отличие от Примеров 8-9 состоит в том, что нам сначала необходимо составить функцию двух переменных: . Как составлена функция, думаю, всем интуитивно понятно.

Значение 4,9973 близко к «пятерке», поэтому: , .
Значение 0,9919 близко к «единице», следовательно, полагаем: , .

Вычислим значение функции в точке :

Дифференциал в точке найдем по формуле:

Для этого вычислим частные производные первого порядка в точке .

Производные здесь не самые простые, и следует быть аккуратным:

;

.

Полный дифференциал в точке :

Таким образом, приближенное значение данного выражения:

Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора: 2,998899527

Найдем относительную погрешность вычислений:

Ответ: ,

Как раз иллюстрация вышесказанному, в рассмотренной задаче приращения аргументов очень малы , и погрешность получилась фантастически мизерной.

Пример 11

С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений.

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Как уже отмечалось, наиболее частный гость в данном типе заданий – это какие-нибудь корни. Но время от времени встречаются и другие функции. И заключительный простой пример для релаксации:

Пример 12

С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение функции , если

Решение ближе к дну страницы. Еще раз обратите внимание на формулировки заданий урока, в различных примерах на практике формулировки могут быть разными, но это принципиально не меняет сути и алгоритма решения.

Если честно, немного утомился, поскольку материал был нудноватый. Непедагогично это было говорить в начале статьи, но сейчас-то уже можно =) Действительно, задачи вычислительной математики обычно не очень сложны, не очень интересны, самое важное, пожалуй, не допустить ошибку в обычных расчётах.

Да не сотрутся клавиши вашего калькулятора!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Используем формулу:
В данном случае: , ,

Таким образом:
Ответ:

Пример 4: Решение: Используем формулу:
В данном случае: , ,

Дифференциалом функции в точкеназывается главная, линейная относительно приращения аргумента
часть приращения функции
, равная произведению производной функции в точкена приращение независимой переменной:

.

Отсюда приращение функции
отличается от ее дифференциала
на бесконечно малую величину и при достаточно малых значениях можно считать
или

Приведенная формула используется в приближенных вычислениях, причем, чем меньше
, тем точнее формула.

Пример 3.1. Вычислить приближенно

Решение . Рассмотрим функцию
. Это степенная функция и её производная

В качестве требуется взять число, удовлетворяющее условиям:

Значение
известно или достаточно просто вычисляется;

Число должно быть как можно более близким к числу 33,2.

В нашем случае этим требованиям удовлетворяет число = 32, для которого
= 2,
= 33,2 -32 = 1,2.

Применяя формулу, находим искомое число:

+
.

Пример 3.2. Найти время удвоения вклада в банк, если ставка банковского процента за год составляет 5% годовых.

Решение. За год вклад увеличивается в
раз, а залет вклад увеличится в
раз. Теперь необходимо решить уравнение:
=2. Логарифмируя, получаем, откуда
. Получим приближенную формулу для вычисления
. Полагая
, найдем
и в соответствии с приближенной формулой. В нашем случае
и
. Отсюда. Так как
, находим время удвоения вклада
лет.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение дифференциала функции в точке.

2. Почему формула, используемая для вычислений, является приближенной?

3. Каким условиям должно удовлетворять число , входящее в приведенную формулу?

Задачи для самостоятельной работы

Вычислить приближённое значение
, заменив в точке
приращение функции
ее дифференциалом.

Таблица 3.1

Номер варианта

4 . Исследование функций и построение их графиков

Если функция одной переменной задана в виде формулы
, то областью ее определения называют такое множество значений аргумента, на котором определены значения функции.

Пример 4.1. Значение функции
определены только для неотрицательных значений подкоренного выражения:
. Отсюда областью определения функции является полуинтервал , так как значение тригонометрической функции
удовлетворяют неравенству: -1
1.

Функция
называетсячетной, если для любых значений из области ее определения выполняется равенство

,

и нечетной, если справедливо другое соотношение:
. В других случаях функцию называют функцией общего вида.

Пример 4.4. Пусть
. Проверим: . Таким образом, эта функция является четной.

Для функции
верно. Отсюда эта функция является нечетной.

Сумма предыдущих функций
является функцией общего вида, так как функцияне равна
и
.

Асимптотой графика функции
называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (;
) плоскости до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Различают вертикальные (рис. 4.1), горизонтальные (рис. 4.2) и наклонные (рис. 4.3) асимптоты.

Рис. 4.1. График

Рис. 4.2. График

Рис. 4.3. График

Вертикальные асимптоты функции следует искать либо в точках разрыва второго рода (хотя бы один из односторонних пределов функции в точке бесконечен или не существует), либо на концах ее области определения
, если
– конечные числа.

Если функция
определена на всей числовой оси и существует конечный предел
, либо
, то прямая, задаваемая уравнением
, является правосторонней горизонтальной асимптотой, а прямая
- левосторонней горизонтальной асимптотой.

Если существуют конечные пределы

и
,

то прямая
является наклонной асимптотой графика функции. Наклонная асимптота также может быть правосторонней (
) или левосторонней (
).

Функция
называется возрастающей на множестве
, если для любых
, таких, что>, выполняется неравенство:
>
(убывающей,если при этом:
<
). Множество
в этом случае называют интервалом монотонности функции.

Справедливо следующее достаточное условие монотонности функции: если производная дифференцируемой функции внутри множества
положительна (отрицательна), то функция возрастает (убывает) на этом множестве.

Пример 4.5. Дана функция
. Найти ее интервалы возрастания и убывания.

Решение. Найдем ее производную
. Очевидно, что>0 при>3 и<0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) и возрастает на (3;
).

Точка называется точкойлокального максимума (минимума) функции
, если в некоторой окрестности точкивыполняется неравенство
(
) . Значение функции в точке называетсямаксимумом (минимумом). Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремум функции.

Для того чтобы функция
имела экстремум в точкенеобходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (
) или не существовала.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. В стационарной точке не обязательно должен быть экстремум функции. Для нахождения экстремумов требуется дополнительно исследовать стационарные точки функции, например, путем использования достаточных условий экстремума.

Первое из них заключается в том, что если при переходе через стационарную точку слева направо производная дифференцируемой функции меняет знак с плюса на минус, то в точке достигается локальный максимум. Если знак изменяется с минуса на плюс, то это точка минимума функции.

Если же изменение знака производной при переходе через исследуемую точку не происходит, то в данной точке экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума функции в стационарной точке использует вторую производную функции: если
<0, тоявляется точкой максимума, а если
>0, то- точка минимума. При
=0 вопрос о типе экстремума остается открытым.

Функция
называетсявыпуклой (вогнутой ) на множестве
, если для любых двух значений
выполняется неравенство:

.

Рис.4.4. График выпуклой функции

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции
положительна (отрицательна) внутри множества
, то функция вогнута (выпукла) на множестве
.

Точкой перегиба графика непрерывной функции
называется точка, разделяющие интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.

Вторая производная
дважды дифференцируемой функции в точке перегибаравна нулю, то есть
= 0.

Если вторая производная при переходе через некоторую точку меняет свой знак, тоявляется точка перегиба ее графика.

При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется использовать следующую схему:

Абсолютная погрешность

Определение

Величина абсолютной разности между точным и приближенным u0 значением величины называется абсолютной погрешностью приближенной величины u0. Абсолютную погрешность обозначают $\Delta $u:

$\Delta u = |u - u0| $

Чаще всего точное значение u, а следовательно, и абсолютная погрешность $\Delta $u неизвестны. Поэтому вводят понятие границы абсолютной погрешности.

Граница погрешности приближенной величины

Определение

Любое положительное число больше либо равное абсолютной погрешности является границей погрешности приближенной величины:

\[|u-u_{0} |=\Delta _{u} \le \overline{\Delta _{u} }\]

Значит, точное значение величины содержится между $u_{0} -\overline{\Delta _{u} }$ и $u_{0} +\overline{\Delta _{u} }$

Если граница абсолютной погрешности при нахождении некоторой величины u равна $\overline{\Delta _{u} }$, то говорят, что величина u найдена с точностью $\overline{\Delta _{u} }$.

Относительная погрешность и ее граница

Определение

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности $\Delta $u к модулю приближенного значения u0 измеряемой величины.

Обозначая относительную погрешность символом $\delta $u, получим

\[\delta _{u} =\frac{\Delta _{u} }{\left|u_{0} \right|} \]

Определение

Границей относительной погрешности называется отношение границы абсолютной погрешности, к модулю приближенного значения измеряемой величины:

\[\overline{\delta _{u} }=\frac{\overline{\Delta _{u} }}{\left|u_{0} \right|} \]

$\delta _{u} $ и $\overline{\delta _{u} }$ часто выражают в процентах.

Дифференциал функции

Дифференциал функции обозначается dy и имеет запись вида:

dy = f "(x) $\Delta $х

В ряде случаев, вычисление приращения функции заменяется вычислением дифференциала функции с некоторым приближением. Дифференциал функции вычисляется проще, т.к. требует нахождения лишь ее производной для расчета произведения с независимой переменной:

\[\Delta y\approx dy\]

Поскольку

\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\] \

Наращенное значение функции имеет вид:

С помощью этой приближенной формулы можно находить приближенное значение функции в точке $x + \Delta х$, близкой к х по известному значению функции.

Для приближенных вычислений используется формула:

\[(1+\Delta x)^{n} \approx 1+n\Delta x\]

Например:

1. Приближенно вычислить $(1,02)^3$

Где $\Delta $х = 0,03, n = 5

\[(1,02)^{3} \approx 1+0,02\cdot 3\]

Где $\Delta $х = 0,03, n = 5

\[(1,02)^{3} \approx 1,06\]

2. Приближенно вычислить $\sqrt{1,005} $

Где $\Delta $х = 0,005, n =0,5

\[\sqrt{1,005} \approx 1+0,5\cdot 0,005\] \[\sqrt{1,005} \approx 1,0025\]

Пример 1

Приближенно рассчитать увеличение объема цилиндра с высотой H = 40см. и радиусом основания R = 30см при увеличении радиуса основания на 0,5 см.

Решение. Объем цилиндра V при постоянной высоте H и переменном радиусе основания R это функция вида:

Запишем приращение функции:

\ \[\Delta V\approx 2\pi HR\cdot \Delta R\]

Заменим известные величины

\[\Delta V\approx 2\pi \cdot 40\cdot 30\cdot 0,5=1200\pi \approx 3770 см^{3} \]

Пример 2

Прямым измерением найдено, что диаметр круга равен 5,2 см, причем максимальная погрешность измерения составляет 0,01. Найти приближенную относительную и процентную погрешности в вычисленной площади этого круга.

Относительная погрешность вычисления площади находится по формуле:

\[\delta _{s} =\frac{\Delta s}{s} \]

Приближенное значение получается в следствие замены $\Delta $s на ds. Поэтому приближенный расчет будет производиться по формуле:

\[\delta _{s} =\frac{ds}{s} \]

Поскольку площадь круга с радиусом х равна:

\ \

Таким образом,

\[\delta _{s} =\frac{\frac{1}{2} \pi xdx}{\frac{1}{4} \pi x^{2} } =2\frac{dx}{x} \]

Заменим х и dx числовыми значениями

\[\delta _{s} =2\frac{0,01}{5,2} \approx 0,004\]

(что составляет погрешность 4%)