Изменение количества движения механической системы. Динамика относительного движения Закон об изменении количества движения точки

Состоящую из n материальных точек. Выделим из этой системы некоторую точку M j с массой m j . На эту точку, как известно, действуют внешние и внутренние силы .

Приложим к точке M j равнодействующую всех внутренних сил F j i и равнодействующую всех внешних сил F j e (рисунок 2.2). Для выделенной материальной точки M j (как для свободной точки) запишем теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме (2.3):

Запишем аналогичные уравнения для всех точек механической системы (j=1,2,3,…,n) .

Рисунок 2.2

Сложим почленно все n уравнений:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i , (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i . (2.10)

Здесь ∑m j ×V j =Q – количество движения механической системы;
∑F j e = R e – главный вектор всех внешних сил, действующих на механическую систему;
∑F j i = R i =0 – главный вектор внутренних сил системы (по свойству внутренних сил он равен нулю).

Окончательно для механической системы получаем

dQ/dt = R e . (2.11)

Выражение (2.11) представляет собой теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме (в векторном выражении): производная по времени от вектора количества движения механической системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на систему .

Проецируя векторное равенство (2.11) на декартовы оси координат, получаем выражения для теоремы об изменении количества движения механической системы в координатном (скалярном) выражении:

dQ x /dt = R x e ;

dQ y /dt = R y e ;

dQ z /dt = R z e , (2.12)

т.е. производная по времени от проекции количества движения механической системы на какую-либо ось равна проекции на эту ось главного вектора всех действующих на эту механическую систему внешних сил .

Умножая обе части равенства (2.12) на dt , получим теорему в другой дифференциальной форме:

dQ = R e ×dt = δS e , (2.13)

т.е. дифференциал количества движения механической системы равен элементарному импульсу главного вектора (сумме элементарных импульсов) всех внешних сил, действующих на систему .

Интегрируя равенство (2.13) в пределах изменения времени от 0 до t , получаем теорему об изменении количества движения механической системы в конечной (интегральной) форме (в векторном выражении):

Q — Q 0 = S e ,

т.е. изменение количества движения механической системы за конечный промежуток времени равно полному импульсу главного вектора (сумме полных импульсов) всех внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени .

Проецируя векторное равенство (2.14) на декартовы оси координат, получим выражения для теоремы в проекциях (в скалярном выражении):

т.е. изменение проекции количества движения механической системы на какую-либо ось за конечный промежуток времени равно проекции на эту же ось полного импульса главного вектора (сумме полных импульсов) всех действующих на механическую систему внешних сил за тот же промежуток времени .

Из рассмотренной теоремы (2.11) – (2.15) вытекают следствия:

1. Если R e = ∑F j e = 0 , то Q = const – имеем закон сохранения вектора количества движения механической системы: если главный вектор R e всех внешних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, то вектор количества движения этой системы остается постоянным по величине и направлению и равным своему начальному значению Q 0 , т.е. Q = Q 0 .
2. Если R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0) , то Q x = const – имеем закон сохранения проекции на ось количества движения механической системы: если проекция главного вектора всех действующих на механическую систему сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция на эту же ось вектора количества движения этой системы будет величиной постоянной и равной проекции на эту ось начального вектора количества движения, т.е. Q x = Q 0x .

Дифференциальная форма теоремы об изменении количества движения материальной системы имеет важные и интересные приложения в механике сплошной среды. Из (2.11) можно получить теорему Эйлера.

Количество движения системы, как векторная величина, определяется формулами (4.12) и (4.13).

Теорема. Производная от количества движения системы по времени равна геометрической сумме всех действующих на нее внешних сил.

В проекциях декартовые оси получим скалярные уравнения.

Можно записать векторное

(4.28)

и скалярные уравнения

Которые выражают теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов за тот же промежуток времени. При решении задач чаще используются уравнения (4.27)

Закон сохранения количества движения

Теорема об изменении кинетического момента

Теорема об изменении момента количества движения точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки относительно неподвижного центра равна векторному моменту, действующей на точку силы относительно того же центра.

или (4.30)

Сравнивая (4.23) и (4.30), видим, что моменты векторов и связаны такой же зависимостью, какой связаны сами векторы и (рис. 4.1). Если спроектировать равенство на ось , проходящую через центр О, то получим

(4.31)

Это равенство выражает теорему момента количества движения точки относительно оси.

Рис. 4.1.

Теорема об изменении главного момента количества движения или кинетического момента механической системы относительно центра: производная по времени от кинетического момента системы относительно некоторого неподвижного центра равно сумме моментов всех внешних сил относительно того же центра.

(4.32)

Если спроектировать выражение (4.32) на ось , проходящей через центр О, то получим равенство, характеризующее теорему об изменении кинетического момента относительно оси.

(4.33)

Подставляя (4.10) в равенство (4.33) можно записать дифференциальное уравнение вращающегося твердого тела (колес, осей, валов, роторов и т.д.) в трех формах.

(4.34)

(4.35)

(4.36)

Таким образом, теорему об изменении кинетического момента целесообразно использовать для исследования весьма распространенного в технике движения твердого тела, его вращения вокруг неподвижной оси.

Закон сохранения кинетического момента системы

1. Пусть в выражении (4.32) .

Тогда из уравнения (4.32) следует, что , т.е. если сумма моментов всех приложенных к системе вешних сил относительно данного центра равно нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра будет численно и по направлению будет постоянен.

2. Если , то . Таким образом, если сумма моментов действующих на систему внешних сил относительно некоторой оси равна нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси будет величиной постоянной.

Эти результаты выражают собой закон сохранения кинетического момента.

В случае вращающегося твердого тела из равенства (4.34) следует, что, если , то . Отсюда приходим к следующим выводам:

Если система неизменяема (абсолютно твердое тело), то , следовательно, и и твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью.

Если система изменяема, то . При увеличении (тогда отдельные элементы системы удаляются от оси вращения) угловая скорость уменьшается, т.к. , а при уменьшении увеличивается, таким образом, в случае изменяемой системы с помощью внутренних сил можно изменить угловую скорость.

Вторая задача Д2 контрольной работы посвящена теореме об изменении кинетического момента системы относительно оси.

Задача Д2

Однородная горизонтальная платформа (круглая радиуса R или прямоугольная со сторонами R и 2R, где R = 1,2м) массой кг вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси z, отстоящей от центра масс C платформы на расстоянии OC = b (рис. Д2,0 – Д2,9, табл. Д2); размеры для всех прямоугольных платформ показаны на рис. Д2,0а (вид сверху).

В момент времени по желобу платформы начинает двигаться (под действием внутренних сил) груз D массой кг по закону , где s выражено в метрах, t - в секундах. Одновременно на платформы начинает действовать пара сил с моментом M (задан в ньютонометрах; при M < 0 его направление противоположно показанному на рисунках).

Определить, пренебрегая массой вала, зависимость т.е. угловую скорость платформы, как функцию времени.

На всех рисунках груз D показан в положении, при котором s > 0 (когда s < 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.

Указания. Задача Д2 – на применение теоремы об изменении кинетического момента системы. При применении теоремы к системе, состоящей из платформы и груза, кинетический момент системы относительно оси z определяется как сумма моментов платформы и груза. При этом следует учесть, что абсолютная скорость груза складывается из относительной и переносной скоростей, т.е. . Поэтому и количество движения этого груза . Тогда можно воспользоваться теоремой Вариньона (статика), согласно которой ; эти моменты вычисляются так же, как моменты сил. Подробнее ход решения разъяснен в примере Д2.

При решении задачи полезно изобразить на вспомогательном чертеже вид на платформу сверху (с конца z), как это сделано на рис. Д2,0,а – Д2,9, а.

Момент инерции пластины с массой m относительно оси Cz, перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр масс, равен: для прямоугольной пластины со сторонами и

;

Для круглой пластины радиуса R

Номер условия	b	s = F(t)	M
	R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2	-0.4 0.6 0.8 10 t 0.4 -0.5t -0.6t 0.8t 0.4 0.5	4t -6 -8t -9 6 -10 12

	Рис. Д2.0		Рис. Д2.0а

	Рис. Д2.1		Рис. Д2.1а

	Рис. Д2.2		Рис. Д2.2а

	Рис. Д2.3		Рис. Д2.3а

	Рис. Д2.4
		Рис. Д2.4а

		Рис. Д2.5а
	Рис. Д2.5

	Рис. Д2.6		Рис. Д2.6а

	Рис. Д2.7		Рис. Д2.7а

	Рис. Д2.8		Рис. Д2.8а

	Рис. Д2.9		Рис. Д2.9а

	Рис. Д2

Пример Д2 . Однородная горизонтальная платформа (прямоуголь­ная со сторонами 2l и l), имеющая массу жестко скреплена с вертикальным валом и вращается вместе с ним вокруг оси z с угло­вой скоростью (рис. Д2а). В момент времени на вал начинает действовать вращающий момент М, направленный противо­положно ; одновременно груз D массой , находящийся в желобе АВ в точке С, начинает двигаться по желобу (под действием внутрен­них сил) по закону s = CD = F(t).

Дано: m 1 = 16 кг, т 2 = 10 кг, l = 0,5 м, = 2 , s = 0,4t 2 (s - в метрах, t - в секундах), М = kt, где k =6 Нм/с. Опре­делить: - закон изменения угловой скорости платформы.

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плат­формы и груза D. Для определения w применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z:

(1)

Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести реакции и вращающий момент M. Так как силы и параллельны оси z, а реакции и эту ось пересекают, то их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление (т. е. против хода часовой стрелки), получим и уравнение (1) примет такой вид.

Количество движения мерой механического движения, если механическое движение перейдет в механическое. Например, механическое движение бильярдного шара (рис. 22) до удара переходит в механическое движение шаров после удара. Для точки количество движения равно произведению .

Мерой действия силы в этом случае является импульс силы

. (9.1)

Импульс определяет действие силы за промежуток времени. Для материальной точки теорему об изменении количества движения можно использовать в дифференциальной форме
(9.2) или интегральной (конечной) форме
. (9.3)

Изменение количества движения материальной точки за какой-то промежуток времени равно импульсу всех сил, приложенных к точке за то же время.

Рисунок 22

При решении задач теорема (9.3) чаще используется в проекциях на координатные оси
;

; (9.4)

.

С помощью теоремы об изменении количества движения точки можно решать задачи, в которых на точку или тело, движущееся поступательно, действуют силы постоянные или переменное, зависящие от времени, а в число заданных и искомых величин входят время движения и скорости в начале и конце движения. Задачи с применением теоремы решаются следующей последовательности:

1. выбирают систему координат;

2. изображают все действующие на точку заданные (активные) силы и реакции;

3. записывают теорему об изменении количества движения точки в проекциях на выбранные оси координат;

4. определяют искомые величины.

ПРИМЕР 12.

Молот весом G=2т падает с высоты h=1м на заготовку за время t=0,01с и производит штамповку детали (рис. 23). Определить среднюю силу давления молота на заготовку.

РЕШЕНИЕ.

1. На заготовку действуют сила тяжести молота и реакция опоры. Величина опорной реакции изменяется со временем, поэтому рассмотрим среднее ее значение
.

2. направим ось координат у по вертикали вниз и применим теорему об изменении количества движения точки в проекции на эту ось:
, (1) где-- скорость молота в конце удара;

-- начальная скорость молота в момент соприкосновения с заготовкой.

3. Для определения скорости составим дифференциальное уравнение движения молота в проекции на ось у:

. (2)

Разделим переменные, проинтегрируем дважды уравнение (2):
;

;

. Постоянные интегрирования С 1 , С 2 найдем из начальных условий. При t=0 V y =0, тогда С 1 =0; у=0, тогда С 2 =0. Следовательно, молот движется по закону
, (3) а скорость движения молота изменяется по закону
. (4) Время движения молота выразим из (3) и подставим в (4)
;
. (5)

4. Проекцию импульса внешних сил на ось у найдем по формуле:
. (6) Подставим (5) и (6) в (1):
, откуда находим реакцию опоры, и, следовательно, искомое давление молота на заготовку
т.

Рисунок 24

К

где М-масса системы, V c -скорость центра масс. Теорему об изменении количества движения механической системы можно записать в дифференциальной и конечной (интегральной) форме:
;

. (9.7)

оличество движения механической системы можно определить как сумму количеств движения точек системы
. (9.5) Количество движения системы или твердого тела можно определить, зная массу системы и скорость центра масс
, (9.6)

Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил, Действующих за то же время. Иногда удобнее пользоваться теоремой об изменении количества движения в проекции на оси координат
; (9.8)
. (9.9)

Закон сохранения количества движения устанавливает, что при отсутствии внешних сил количество движения механической системы остается постоянным. Действие внутренних сил не может изменить количества движения системы. Из уравнения (9.6) видно, что при
,
.

Если
, то
или
.

Д

гребного винта или пропеллера, реактивного движения. Кальмары движутся рывками, выбрасывая воду из мускульного мешка по принципу водомета (рис. 25). Отталкиваемая вода обладает известным количеством движения, направленным назад. Кальмар получает при этом соответствующую скорость движения вперед за счет реактивной силы тяги, так как перед выпрыгиванием кальмара силауравновешивается силой тяжести.

ействие закона сохранения количества движения механической системы можно проиллюстрировать на примере явления отдачи или отката при стрельбе, работы

Применение теоремы об изменении количества движения позволяет исключить из рассмотрения все внутренние силы.

ПРИМЕР 13.

На железнодорожной платформе, свободно стоящей на рельсах, установлена лебедка А с барабаном радиуса r (рис. 26). Лебедка предназначена для перемещения по платформе груза В массой m 1 . Масса платформы с лебедкой m 2 . Барабан лебедки вращается по закону
. В начальный момент времени система была подвижна. Пренебрегая трением, найти закон изменения скорости платформы после включения лебедки.

РЕШЕНИЕ.

1. Рассмотрим платформу, лебедку и груз как единую механическую систему, на которую действуют внешние силы: сила тяжести груза и платформыи реакциии
.

2. Так как все внешние силы перпендикулярны оси х, т.е.
, применим закон сохранения количества движения механической системы в проекции на ось х:
. В начальный момент времени система была неподвижна, следовательно,

Выразим количество движения системы в произвольный момент времени. Платформа движется поступательно со скоростью , груз совершает сложное движение, состоящее из относительного движения по платформе со скоростьюи переносного движения вместе с платформой со скоростью., откуда
. Платформа будет перемещаться в сторону, противоположную относительному движению груза.

ПРИМЕР 14.

М

РЕШЕНИЕ.

1. Применим теорему об изменении количества движения механической системы в проекции на ось х. Так как все действующие на систему внешние силы вертикальны, то
, тогда
, откуда
. (1)

2. Выразим проекцию количества движения на ось х для рассматриваемой механической системы
,

еханическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массойm 1 =18кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих и груза D массой m 2 =6кг. В момент времени t 0 =0, когда плита двигалась со скоростью u 0 =2м/с, груз начал движение вдоль желоба в соответствии с уравнением S=AD=0,4sin(t 2) (S-в метрах, t-в секундах), (рис. 26). Определить скорость плиты в момент времени t 1 =1с, используя теорему об изменении количества движения механической системы.

где ,
-- количество движения пластины и груза соответственно.

;
, где--абсолютная скорость грузаD. Из равенства (1) следует, что К 1х +К 2х =С 1 или m 1 u x +m 2 V Dx =C 1 . (2) Для определения V Dx рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по отношению к пластине относительным, а движение самой пластины переносным, тогда
, (3)
;или в проекции на ось х:. (4) Подставим (4) в (2):
. (5) Постоянную интегрирования С 1 определим из начальных условий: при t=0 u=u 0 ; (m 1 +m 2)u 0 =C 1 . (6) Подставляя значение постоянной С 1 в уравнение (5), получаем

м/с.

В качестве системы, о которой идёт речь в теореме, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел.

Формулировка теоремы

Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, - это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.

( кг·м/с)

Теорема об изменении количества движения системы утверждает

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.

Закон сохранения количества движения системы

Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то количество движения (импульс) системы есть величина постоянная.

, получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в дифференциальной форме :

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения ) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

(моме́нт коли́чества движе́ния м 2 ·кг·с −1 )

Теорема об изменении момента количества движения относительно центра

производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Теорема об изменении момента количества движения относительно оси

производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Рассмотрим материальную точку M массой m , движущуюся под действием силы F (рисунок 3.1). Запишем и построим вектор момента количества движения (кинетического момента) M 0 материальной точки относительно центра O :

Дифференцируем выражение момента количества движения (кинетического момента k 0) по времени:

Так как dr /dt = V , то векторное произведение V ⊗ m ⋅ V (коллинеарных векторов V и m ⋅ V ) равно нулю. В то же время d(m ⋅ V) /dt = F согласно теореме о количестве движения материальной точки. Поэтому получаем, что

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

где r ⊗F = M 0 (F ) – вектор-момент силы F относительно неподвижного центра O . Вектор k 0 ⊥ плоскости (r , m ⊗V ), а вектор M 0 (F ) ⊥ плоскости (r ,F ), окончательно имеем

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Уравнение (3.4) выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Проецируя равенство (3.4) на оси декартовых координат, получаем

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Равенства (3.5) выражают теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно оси: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

Рассмотрим следствия, вытекающие из теорем (3.4) и (3.5).

Следствие 1. Рассмотрим случай, когда сила F во все время движения точки проходит через неподвижный центр O (случай центральной силы), т.е. когда M 0 (F ) = 0. Тогда из теоремы (3.4) следует, что k 0 = const ,

т.е. в случае центральной силы момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным по модулю и направлению (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2

Из условия k 0 = const следует, что траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую, плоскость которой проходит через центр этой силы.

Следствие 2. Пусть M z (F ) = 0, т.е. сила пересекает ось z или ей параллельна. В этом случае, как это видно из третьего из уравнений (3.5), k z = const ,

т.е. если момент действующей на точку силы относительно какой-либо неподвижной оси всегда равен нулю, то момент количества движения (кинетический момент) точки относительно этой оси остается постоянным.

Доказательство теоремы обь ихменении количества движения

Пусть система состоит из материальных точек с массами и ускорениями . Все силы, действующие на тела системы, разделим на два вида:

Внешние силы - силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i обозначим .

Внутренние силы - силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k , будем обозначать , а силу воздействия i -й точки на k -ю точку - . Очевидно, что при , то

Используя введённые обозначения, запишем второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек в виде

Учитывая, что и суммируя все уравнения второго закона Ньютона, получаем:

Выражение представляет собой сумму всех внутренних сил, действующих в системе. По третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе соответствует сила такая, что и, значит, выполняется Поскольку вся сумма состоит из таких пар, то и сама сумма равна нулю. Таким образом, можно записать

Используя для количества движения системы обозначение , получим

Введя в рассмотрение изменение импульса внешних сил , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в дифференциальной форме:

Таким образом, каждое из последних полученных уравнений позволяет утверждать: изменение количества движения системы происходит только в результате действия внешних сил, а внутренние силы никакого влияния на эту величину оказать не могут.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:

где и - значения количества движения системы в моменты времени и соответственно, а - импульс внешних сил за промежуток времени . В соответствии со сказанным ранее и введёнными обозначениями выполняется

Так как масса точки постоянна, а ее ускорение то уравне­ние, выражающее основной закон динамики, можно представить в виде

Уравнение выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна геометрической сумме действующих на точку сил.

Проинтегрируем это уравнение. Пусть точка массы m , движущаяся под действием силы (рис.15), имеет в момент t =0 скорость , а в момент t 1 -скорость .

Рис.15

Умножим тогда обе части равенства на и возь­мем от них определенные интегралы. При этом справа, где интегри­рование идет по времени, пределами интегралов будут 0 и t 1 , а слева, где интегрируется скорость, пределами интеграла будут соответствую­щие значения скорости и . Так как интеграл от равен , то в результате получим:

.

Стоящие справа интегралы пред­ставляют собою импульсы действующих сил. Поэтому окончательно будем иметь:

.

Уравнение выражает теорему об изменении коли­чества движения точки в конечном виде: изменение коли­чества движения точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени (рис. 15).

При решении задач вместо векторного уравнения часто пользуются уравнениями в проекциях.

В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси Ох теорема выражается первым из этих уравнений.

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте основные законы механики.

Какое уравнение называется основным уравнением динамики?

Какова мера инертности твердых тел при поступательном движении?

Зависит ли вес тела от местонахождения тела на Земле?

Какую систему отсчета называют инерциальной?

К какому телу приложена сила инерции материальной точки и каковы ее модуль и направление?

Объясните разницу между понятиями «инертность» и «сила инерции»?

К каким телам приложена сила инерции, как направлена и по какой формуле может быть рассчитана?

В чем заключается принцип кинетостатики?

Каковы модули и направления касательной и нормальной сил инерции материальной точки?

Что называют массой тела? Назовите единицу измерения массы в системе СИ?

Что является мерой инертности тела?

Запишите основной закон динамики в векторной и дифференциальной форме?

На материальную точку действует постоянная сила. Как дви­жется точка?

Какое ускорение получит точка, если на нее действует сила, равная удвоенной силе тяжести?

После столкновения двух материальных точек с массами m 1 =6 кг и m 2 =24 кг первая точка получила ускорение 1,6 м/с. Чему равно ускорение, полученное второй точкой?

При каком движении материальной точки равна нулю ее касательная сила инерции и при каком – нормальная?

По каким формулам вычисляются модули вращательной и центробежной сил инерции точки, принадлежащей твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси?

Как формулируется основной закон динамики точки?

Приведите формулировку закона независимости действия сил.

Запишите дифференциальные уравнения движения материальной точки в векторной и координатной форме.

Сформулируйте сущность первой и второй основных задач динамики точки.

Приведите условия, из которых определяются постоянные интегрирования дифференциальных уравнений движения материальной точки.

Какие уравнения динамики называются естественными уравнениями движения материальной точки?

Каковы две основные задачи динамики точки, которые решаются с помощью дифференциальных движений материальной точки?

Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки.

Как определяются постоянные при интегрировании дифференциальных уравнений движения материальной точки?

Определение значений произвольных постоянных, появляющихся при ин­тегрировании дифференциальных уравнений движения материальной точки.

Каковы законы свободного падения тела?

По каким законам происходят горизонтальное и вертикальное перемещения тела, брошенного под углом к горизонту в пустоте? Какова траектория его движения и при каком угле тело имеет наибольшую дальность полета?

Как вычислить импульс переменной силы за конечный промежуток времени?

Что называется количеством движения материальной точки?

Как выразить элементарную работу силы через элементарный путь точки приложения силы и как – через приращение дуговой координаты этой точки?

На каких перемещениях работа силы тяжести: а) положительна, б) отрицательна, в) равна нулю?

Как вычислить мощность силы, приложенной к материальной точке, вращающейся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ?

Сформулируйте теорему об изменении количества движения материальной точки.

При каких условиях количество движения материальной точки не изменяется? При каких условиях не изменяется его проекция на некоторую ось?

Приведите формулировку теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной и конечной форме.

Что называется моментом количества движения материальной точки относительно: а) центра, б) оси?

Как формулируется теорема об изменении момента количества движения точки относительно центра и относительно оси?

При каких условиях момент количества движения точки относительно оси остается неизменным?

Как определяются моменты количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси? Какова зависимость между ними?

При каком расположении вектора количества движения материальной точки его момент относительно оси равен нулю?

Почему траектория материальной точки, движущейся под действием центральной силы, лежит в одной плоскости?

Какое движение точки называется прямолинейным? Запишите дифференциальное уравнение прямолинейного движения материальной точки.

Запишите дифференциальные уравнения плоского движения материальной точки.

Какое движение материальной точки описывают дифференциальные уравнения Лагранжа первого рода?

В каких случаях материальную точку называют несвободной и каковы дифференциальные уравнения движения этой точки?

Дайте определения стационарных и нестационарных, голономных и неголономных связей.

Какие связи называют двусторонними? Односторонними?

В чем сущность принципа освобождаемости от связей?

Какой вид имеют дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки в форме Лагранжа? Что называют множителем Лагранжа?

Приведите формулировку динамической теоремы Кориолиса.

В чем сущность принципа относительности Галилея-Ньютона?

Назовите движения, при которых кориолисова сила инерции равна нулю.

Какой модуль и какое направление имеют переносная и кориолисова силы инерции?

В чем заключается различие между дифференциальными уравнениями относительного и абсолютного движений материальной точки?

Как определяются переносная и кориолисова силы инерции в различных случаях переносного движения?

В чем состоит сущность принципа относительности классической механики?

Какие системы отсчета называются инерциальными?

Каково условие относительного покоя материальной точки?

В каких точках земной поверхности сила тяжести имеет наибольшее и наименьшее значения?

Чем объясняется отклонение падающих тел к востоку?

В каком направлении отклоняется тело, брошенное вертикально вверх?

В шахту опускается бадья с ускорением а =4 м/с 2 . Сила тяжести бадьи G =2 кН. Определите силу натяжения каната, поддерживающего бадью?

Две материальные точки движутся по прямой с постоянными скоростями 10 и 100 м/с. Можно ли утверждать, что к этим точкам приложены эквивалентные системы сил?

1) нельзя;

К двум материальным точкам массой 5 и 15 кг приложены одинаковые силы. Сравните численные значения ускорения этих точек?

1) ускорения одинаковы;

2) ускорение точки массой 15 кг в три раза меньше, чем ускорение точки массой 5 кг.

Можно ли задачи динамики решать с помощью уравнений равновесия?