Устойчивость -это способность системы возвращаться к номинальному режиму, если она отклонилась по каким-то причинам от этого режима.
Требования к устойчивости обязательно для всех САУ.
Строгое определение устойчивости дано А.М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения» (конец 19 века)
Пусть динамика системы описывается уравнением
y - выходная величина
x - входная величина
y ( i ) , x ( j ) - производные.
Предположим, что в этой системе существует номинальный режим работы у н (t ), который однозначно определяется номинальным входным воздействием х н (t ) и номинальными начальными условиями.
(2)
Так как номинальные начальные условия (2) на практике трудно выдержать, в системе существует «отклоненные» начальные условия.
(3)
Для номинального режима справедливо уравнение:
Отклоненным начальным условиям соответствует отклоненный режим.
Для отклоненного режима справедливо уравнение:
(6)
Вычтем из уравнения (5) уравнение (4), получим (7)
Введем определение.
Номинальный режим у н (t ) устойчив по Ляпунову , если при любых отклоненных начальных условиях (3) , достаточно мало отличающихся от номинальных номинальных начальных условий (2), при всех t > 0 будет мало z(t).
Если
номинальный режим устойчив по Ляпунову
и при этом предел
, то номинальный режим называетсяасимптотически
устойчивым
.
Если
найдутся начальные условия (3), сколько
угодно мало отличающиеся от номинальных
начальных условий (2), и при этом
станет больше некоторой малой, наперед
заданной величины, то номинальный режиму
н
(t
)
называется неустойчивым.
Из (7) следует, что поведение z (t ) совершенно не зависит от вида входного воздействия х н (t ) .
Отсюда следует вывод: либо в системе (1) асимптотически устойчивы все номинальные режимы, соответствующие разным входным х н (t ), либо они все неустойчивы.
Поэтому можно говорить об устойчивости или неустойчивости системы, а не какого-либо одного ее режима.
Это важный вывод, сокращающий объем исследований САУ.
К сожалению, он справедлив только для линейных САУ.
Необходимые и достаточные условия устойчивости линейных сау.
Для асимптотической устойчивости линейных систем необходимо и достаточно чтобы все корни характеристического уравнения.
имела бы отрицательную вещественную часть.
Известно, что решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
1. Пусть корни вещественные .
При
- а это отклонение от номинального
режима.
2. Если корни комплексные .
Необходимое условие устойчивости.
Для асимптотической устойчивости системы (1), (8) необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения имели один знак.
Геометрическая трактовка условия устойчивости
Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения были бы расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.
Критерии устойчивости САУ.
Это искусственные приемы, которые позволяют, не находя корней характерного уравнения, ответить на вопросы об устойчивости САУ, т.е. определять знаки вещественных частей корней.
Два вида критериев устойчивости:
1). Алгебраический критерий устойчивости (критерий устойчивости Гурвица).
Пусть заданно характерное уравнение.
Для устойчивости САУ необходимо и достаточно:
1).
Чтобы все коэффициенты характеристического
уравнения имели бы один знак -
(
система
не устойчива)
2). Главный определитель Гурвица, составленный по определенному правилу, и все его диагонали миноры имели бы знак коэффициентов - были бы больше нуля.
Правила написания главного определения Гурвица.
1). По главной диагонали определителя располагаются все коэффициенты характеристического уравнения в порядке возрастания индексов, начиная с a 1 .
2). Места в определителе над главной диагональю заполняются коэффициентами характеристического уравнения в порядке возрастания индексов.
3). Места в определителе под главной диагональю заполняются коэффициентами характерного уравнения в порядке убывания индексов.
4). Места в определителе, где должны стоять коэффициенты с индексами больше n и меньше нуля, заполняются нулями
Таким образом, главный определитель Гурвица имеет вид:
A=
>0
САУ устойчива, если
1).
Все коэффициенты характеристического
уравнения больше нуля (
0!)
,
,
….
2). Главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры > 0.
,
,
,
….
Рассмотрим примеры.
1.
1.
2.
Для устойчивости САУ второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов характеристического уравнения.
1.
i=0…3
2.
Необходимым
и достаточным условием устойчивости
систем третьего порядка является
положительность коэффициентов и
произведение внутренних членов
должно быть больше произведения крайних
членов
характеристического уравнения.
,
,
,
Есть еще алгебраический критерий Рауса. Это тот же критерий Гурвица, но организованный таким образом, что по нему удобно составлять программы для определения устойчивости.
Критерий устойчивости Вышнеградского для систем третьего порядка.
Вышнеградский И.А. предложил изображать границу устойчивости на так называемой плоскости параметров Вышнеградского.
Пусть имеем характеристическое уравнение третьей степени.
Преобразуем его с помощью подстановки:
Тогда оно примет вид:
A 1 и A 2 называются параметрами Вышнеградского (безразмерные величины), в плоскости которых строится граница устойчивости.
Применим к преобразованному уравнению критерий устойчивости Гурвица
или A 1 A 2 > 1
На
границе устойчивости
.
Отсюда
-
уравнение на границе устойчивости
По коэффициентам характеристического уравнения определяются А 1 и А 2 . Если точка оказалась ниже гиперболы – САУ устойчива, выше - неустойчива.
В этом разделе рассматриваются важнейшие характеристики качества управляемых систем. Этими характеристиками являются устойчивость систем, точность и помехоустойчивость.
Понятие устойчивости относится к ситуации, когда входные сигналы системы равны нулю, т.е. внешние воздействия отсутствуют. При этом правильно построенная система должна находиться в состоянии равновесия (покоя) или постепенно приближаться к этому состоянию. В неустойчивых системах даже при нулевых входных сигналах возникают собственные колебания и, как следствие, – недопустимо большие ошибки.
Понятие точности связано с качеством работы управляемых систем при изменяющихся входных сигналах. В правильно спроектированных системах управления величина рассогласования между заданным законом управления g(t) и выходным сигналом x(t) должна быть мала.
Наконец, для характеристики влияния помех на системы управления используют дисперсию или среднее квадратическое отклонение составляющей ошибки за счет действия помех.
Понятие устойчивости
Одним из первых вопросов, возникающих при исследовании и проектировании линейных систем управления, является вопрос об их устойчивости. Линейная система называется устойчивой , если при выведении ее внешними воздействиями из состояния равновесия (покоя) она возвращается в него после прекращения внешних воздействий. Если после прекращения внешнего воздействия система не возвращается к состоянию равновесия, то она является неустойчивой . Для нормального функционирования системы управления необходимо, чтобы она была устойчивой, так как в противном случае в ней возникают большие ошибки.
Определение устойчивости обычно проводят на начальном этапе создания системы управления. Это объясняется двумя причинами. Во-первых, анализ устойчивости довольно прост. Во-вторых, неустойчивые системы могут быть скорректированы, т.е. преобразованы в устойчивые с помощью добавления специальных корректирующих звеньев.
Анализ устойчивости с помощью алгебраических критериев
Устойчивость системы связана с характером ее собственных колебаний. Чтобы пояснить это, предположим, что система описывается дифференциальным уравнением
или, после преобразования Лапласа,
где g(p) – входное воздействие.
Устойчивая система возвращается в состояние покоя, если входное воздействие g(p) 0 . Таким образом, для устойчивой системы решение однородного дифференциального уравнения должно стремиться к нулю при t стремящемся к бесконечности.
Если найдены корни p1, p2, ... , pn характеристического уравнения , то решение однородного уравнения запишется в виде .
В каких же случаях система устойчива?
Предположим, что pk = ak – действительный корень.
Ему соответствует слагаемое ck. При ak < 0 это слагаемое будет стремиться к нулю, если t стремится к бесконечности. Если же ak > 0, то x(t) , когда t стремится к бесконечности; . Наконец, в том случае, когда ak = 0, рассматриваемое слагаемое не изменяется и при t стремящемся к бесконечности,
Допустим теперь, что – комплексный корень характеристического уравнения. Заметим, что в этом случае также будет корнем характеристического уравнения. Двум комплексно-сопряженным корням будут соответствовать слагаемые вида , .
При этом, если ak < 0, то в системе имеются затухающие колебания. При ak > 0 – колебания возрастающей амплитуды, а при ak = 0 -колебания постоянной амплитуды сk.
Таким образом, система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны. Если хотя бы один корень имеет действительную часть ak ³ 0, то система неустойчива. Говорят, что система находится на границе устойчивости, если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет нулевую действительную часть, а действительные части всех остальных корней отрицательны.
Это определение хорошо иллюстрируется геометрически. Представим корни характеристического уравнения точками на комплексной плоскости (рис. 15).
Если все корни лежат в левой полуплоскости комплексного переменного, то система устойчива. Если хотя бы один корень лежит в правой полуплоскости комплексного переменного - система неустойчива. Если же корни находятся на мнимой оси и в левой полуплоскости, то говорят, что система находится на границе устойчивости.
Рассмотрим в качестве примера замкнутую систему управления c одним интегрирующим звеном. В этом случае H(p) = , , а передаточная функция замкнутой системы
.
Выходной сигнал системы x(p) =
W(p)g(p) или 
.
Заметим, что характеристическое уравнение p+k=0 записывается с помощью
приравнивания к нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы
управления. В данном случае имеется один корень p1= -k <
0 и поэтому система управления всегда устойчива. Предположим теперь, что . Тогда 
. Характеристическое
уравнение p2 + + k = 0. Поэтому p1,2=. Система находится на
границе устойчивости. В ней существуют незатухающие колебания.
Анализ устойчивости с помощью частотных критериев
Основным недостатком рассмотренного алгебраического подхода к анализу устойчивости является то, что в сложных системах управления трудно установить связь между корнями знаменателя рk , k=1, 2, …, n, и параметрами элементарных звеньев, составляющих систему управления. Это приводит к трудностям коррекции неустойчивых систем. Для того, чтобы упростить анализ устойчивости, желательно проводить этот анализ по передаточной функции H(p) разомкнутой системы управления.
В 1932 г. американский ученый Найквист разработал эффективный метод анализа устойчивости усилителей с обратной связью. В 1938 г. советский ученый А.В. Михайлов обобщил метод Найквиста на замкнутые системы автоматического управления.
Критерий Найквиста основан на построении годографа передаточной функции H(jw) разомкнутой системы управления. Годографом передаточной функции H(j w ) называется кривая, прочерчиваемая концом вектора H(jw) =|H(jw)|ejj(w) на комплексной плоскости при измерении частоты w от 0 до бесконечности.
Наиболее просто формулируется критерий устойчивости Найквиста: замкнутая система управления устойчива, если годограф передаточной функции H(jw) разомкнутой системы не охватывает на комплексной плоскости точку c координатами (-1, j0). На рисунках показаны примеры годографов устойчивой (рис. 16,а) и неустойчивой (рис. 16,б) систем управления.
Если годограф проходит через точку -1, то говорят, что система находится на границе устойчивости. В этом случае на некоторой частоте H(jw0)= -1 и в системе могут существовать незатухающие колебания частоты w0. В неустойчивых системах уровень сигнала x(t) будет нарастать со временем. В устойчивых - уменьшаться.
Запас устойчивости
Еще одним достоинством рассматриваемого критерия является возможность определения запаса устойчивости системы управления. Запас устойчивости характеризуют двумя показателями: запасом устойчивости по усилению и запасом устойчивости по фазе .
Запас устойчивости по
усилению
определяется величиной g
=1/|H(jw0)|,
где w0
- частота, на которой 
(рис. 17,а). Запас устойчивости g
показывает, во сколько раз должен измениться (увеличиться) модуль передаточной
функции разомкнутой системы управления, чтобы замкнутая система оказалась на
границе устойчивости. Требуемый запас устойчивости зависит от того, насколько в
процессе работы может возрастать коэффициент передачи системы по сравнению с
расчетным.
Запас устойчивости по фазе оценивается величиной угла , где частота wсp , называемая частотой среза , определяется условием |H(jwcp)|=1 (рис. 17, б).
Величина Dj показывает,
насколько должна измениться фазовая характеристика разомкнутой системы
управления, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости. Запас устойчивости
по фазе обычно считается достаточным, если
|Dj|
³
30o.
Анализ устойчивости с помощью логарифмических амплитудно-частотных характеристик
Во многих случаях разомкнутую систему
управления можно представить в виде последовательного соединения n типовых
звеньев с передаточными функциями 
. При этом передаточная функция
разомкнутой системы определяется произведением 
. Логарифмическая амплитудно-частотная
характеристика 
будет
равна сумме ЛАХ отдельных звеньев:
.
Поскольку ЛАХ многих элементарных звеньев могут быть аппроксимированы отрезками прямых линий, то ЛАХ разомкнутой системы управления также будет представлена в виде отрезков прямых линий, имеющих наклоны к оси частот, кратные 20 децибелам на декаду.
Пример. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет следующий вид
.
Такая система содержит два интегратора, форсирующее
звено с передаточной функцией 
и апериодическое звено с передаточной
функцией 
.
Представим ЛАХ отдельных звеньев такой системы в виде графиков на рис. 18, а.
Суммируя представленные графики, получим ЛАХ разомкнутой системы (рис. 18,
б).
Как следует из приведенных рисунков, построение суммарной ЛАХ осуществляется достаточно просто. Необходимо лишь учитывать изменение наклона ЛАХ в точках и , соответствующих сопрягающим частотам форсирующего и апериодического звеньев.
Для проверки условий устойчивости
замкнутой системы автоматического управления необходимо в таком же логарифмическом
масштабе по оси частот построить фазочастотную характеристику 
. Однако опыт инженерных
расчетов показывает, что замкнутая САУ, как правило, устойчива и обладает запасом
устойчивости, если ЛАХ разомкнутой системы вблизи часто-
ты среза имеет наклон –20 дБ/дек. При этом запас устойчивости тем больше, чем больше протяженность этого участка ЛАХ. Обычно считают, что, протяженность участка с наклоном - 20 дБ/дек должна составлять не менее 1 декады. Существуют устойчивые САУ с наклоном ЛАХ большим, чем - 20 дБ/дек, но для таких систем, как правило, очень мал запас устойчивости.
Предположим, что исследуемая САУ имеет наклон около частоты среза больший, чем - 20 дБ/дек (рис. 19)
Учитывая, что при последовательном соединении звеньев САУ их ЛАХ суммируются, нужно включить в САУ такое звено, которое обеспечит устойчивость системы. В рассматриваемом случае таким звеном может быть звено с ЛАХ, показанной на рис. 20.
Действительно, после суммирования ЛАХ системы управления (рис. 19) и дополнительного звена получим ЛАХ, имеющую постоянный наклон - 20 дБ/дек на всех частотах, в том числе и на
частоте среза. В рассматриваемом примере передаточная функция дополнительного корректирующего звена Hф(jw) =1+jwTф, причем w1 = 1/Tф. Введение дополнительных звеньев для обеспечения устойчивости систем управления называется коррекцией САУ, а сами звенья – корректирующими.
В этом разделе были рассмотрены методы исследования одного из важнейших показателей качества систем управления - устойчивости линейных систем. Применение этих методов для анализа конкретных систем обычно осуществляется следующим образом. Вначале строят ЛАХ разомкнутой системы управления. Если система неустойчива, то подбирают и вводят в нее корректирующие звенья таким образом, чтобы наклон ЛАХ на частоте среза составлял - 20 дБ/дек и обеспечивался необходимый запас устойчивости. После этого обязательно исследуют устойчивость скорректированной системы с помощью критерия Найквиста-Михайлова и определяют точные значения запасов устойчивости по усилению и по фазе. При необходимости после этого изменяются параметры системы управления для обеспечения заданного запаса устойчивости.
Под устойчивостью или стабильностью системы в широком смысле понимается свойство системы возвращаться в некоторое установившееся состояние или режим после нарушения какими либо внешними или внутренними факторами.
Система может характеризоваться весьма сложным поведением, непрерывно изменятся, но при этом некоторые ее параметры могут сохранять постоянные значения. В таком случае можно говорить об устойчивости системы относительно именно этих параметров.
Например, исследуя процессы в колебательном контуре, было установлено, что не зависимо от начальных значений напряжения и тока, независимо от того имеет ли место затухающие или незатухающие колебания, частота их в данном контуре всегда остается неизменной и определяется параметрами контура. Это дает права назвать колебательный контор системой устойчивой относительно частоты собственных колебаний.
По значению к понятию устойчивости близки понятии равновесия и стационарности (состояния равновесия, стационарный процесс). Однако эти понятия имеет более узкий, частный смысл. Таким образом, более узким, частным является и употребляемое иногда понятие устойчивости системы как способности её стремиться из различных начальных состояний к некоторому равновесному, стационарному состоянию.
Основным содержанием теории устойчивости является: исследования влияния возмущающих воздействий на поведения системы, при этом под возмущающими факторами понимают силы обычно неизвестные заранее, которые как следствие своей неопределенности, так и в следствие относительной малости по сравнению с основными силами, не учитываются при описании движений системы.
Другим примером устойчивости поведения системы является ее цикличности.
Цикличным поведением называется такое, когда система при отсутствии возмущений периодически многократно проходит одну и ту же последовательность состояний – устойчивое множество состояний.
Относительно некоторого возмущения действующего на систему, её состояние равновесия (или цикл) может характеризоваться несколькими типами устойчивости.
Если система возвращается в состояние равновесия при любых возможных воздействиях на неё (при любых возмущениях), то равновесия называют абсолютно устойчивым . Например, маятник.
Если система, при возмущениях возвращается в состояние равновесия только из некоторой области, то равновесие называют устойчивой относительно этой области . Здесь примером может быть кирпич, который если чуть-чуть наклонить, то вернется в свое состояние, а если сильно наклонить, то упадет.
Если после воздействия на систему она сохраняет новое состояние, вызванное этим воздействием, то систему называют безразлично устойчивой . Простейшим примером является однородный круглый диск, укрепленный на оси, проходящий через его центр.
Во всех остальных случаях, система является не устойчивой.
В сложных кибернетических системах в зависимости от характера исследуемых задач и типа возмущения предлагается применять различные методы определения устойчивости (критерии устойчивости). Одним из таких методов, получившее широкое распространение, является определение устойчивости предложенным ученым Ляпуновым: предполагается, что некоторый объект (система автоматического управления) описывается системой дифференциальных уравнений.
Устойчивость поведения систем, как правило, является положительным свойством, обеспечивающим их нормальное целенаправленное функционирования и сохранения целостности в экстремальных условиях. Однако, в ряде случаев, устойчивость отражает инертность, косность системы, ограничивающую возможность управления ими.
Устойчивость является свойством всей системы в целом, а не в какой либо отдельной её части. Система, состоящая из нескольких устойчивых подсистем, может оказаться неустойчивой и наоборот: при объединения некоторого количества неустойчивых подсистем, может возникнуть устойчивая система, в зависимости от способа такого объединения.
С понятием устойчивости тесно связано понятие гомеостаза или гомеостазиса (от греч гомео – равный, стазис – состояние), применяемое вначале в биологии, где оно обозначало поддержание постоянства существенных параметров организма (температура, давление, состава крови и т.д.). В настоящее время гомеостазисом называют свойство системы, при взаимодействии со внешней средой, сохранять существенные параметры в некоторых заданных пределах.
Для иллюстрации явления гомеостазиса английским нейрофизиологом У.Р. Эшби была построена аналоговая модель, названая им гомеостатом, содержащая 4 вращающиеся магнита, изменяющих при своем вращении сопротивления 4ьох жидкостных потенциометра.
Экономические системы и их особенности
Экономические системы представляет частный случай сложных динамических систем.
Экономическую систему определяют как функциональную подсистему общества, в которой осуществляется производство, распределение и потребление материальных благ. Схематично можно представить следующим образом:
В результате приложения общественного труда происходит преобразование природных ресурсов в материальные блага, потребляемые обществом, таким образом, общество по отношению к экономической подсистемы преобразования ресурсов (производственной системе) выступает с одной стороны как ассоциация производителей, с другой как ассоциация потребителей, формирующее определенные требования к материальным благам – их ассортименту, количеству и качеству.
Результат сравнения параметров общественной потребностей и фактически произведенных материальных благ, то есть разность между общественной потребностью и возможность её удовлетворения представляет стимул развития экономики, реализуемой в процессе управления. Однако, в процессе управления реализуется не только простые результаты такого сравнения, но и цели вырабатываемые обществом и определяемые рядом социально-политических факторов, свойственных той или иной общественной формации и в первую очередь в форме собственности на средства производства.
Экономические системы характеризуются рядом следующих особенностей:
Они отличаются большой сложностью, обусловленное в наличие множественных и достаточно сильных материальных и информационных связей между подсистемами и элементами системы
Для экономических систем характерны непрерывное, динамичное и в макро-масштабах не повторяющие развития по сравнению, например, с биологическими системами. Так если виды животных или растений в процессе эволюции меняются за период 1000, 10000 и более лет, то способы производства, экономические отношения могут претерпевать существенные и даже неоднократные изменения в течение жизни одного поколения людей.
Экономические системы испытывают непрерывное воздействие природных факторов и общества, при чем эти воздействия имеют в основном недетерминированный, а стохастический характер. Так распределение природных ресурсов, состояние погоды и другие факторы внешней среды поддаются прогнозированию лишь с некоторой степени достоверности. В свою очередь и определение потребностей общества в материальных благах так же поддаются лишь статистические оценки. Это обусловлено и сложностью и изменчивостью потребностей и вкусов отдельных членов общества, влиянием моды, и статистической природной демографией, определяющие количественные потребности общества и размеры трудовых ресурсов. Неопределенный в значительной степени характер носит так же прогнозы развития науки, возможности появления тех или иных открытий, изобретений и усовершенствований, эффективности внедрения новой техники и технологий в производство.
Одной из важнейших функций экономических систем является производство и соответственно одной из основных подсистем является производственная система.
В производственной системе осуществляется преобразование материально-вещественных компонентов – природных ресурсов в материальные блага, предназначенные для общественного потребления.
В производственной системе и соответственно производственно-технологической структуре характерны достаточно четко выражены иерархические свойства. При описании ее иерархической структуры нужно учитывать как вертикальные (отраслевые), так и горизонтальные (региональные) аспекты формирования структуры, при этом первичными элементами, то есть звеньями самого низкого уровня иерархии являются элементарные технологические операции.
Дальнейшее их рассмотрение не имеет социально-экономического смысла так как оно уже приводит в область изучения физиологических свойств. На более высоких уровнях иерархии находятся цеха, предприятия, производственные комплексы, отрасли и т.д. Подсистемы иерархической производственной системы связаны между собой в первую очередь материальными потоками (сырье, заготовки, полуфабрикаты, комплектующие изделия, готовые изделия и т.п.).
При этом каждому материальному потоку можно сопоставить определенный информационный поток. Так от производственного подразделения низшего уровня иерархии передается информация о производственных возможностях и их реализации в плановые органы более высшего порядка – объединения, отрасли которые в свою очередь передают ее в государственные органы управления.
Последние пользуясь связями сверху вниз передают административно-директивные задания и определённые параметры экономического функционирование.
На ряду с вопросами структуры производственно-экономических систем важную роль играют проблемы их инфраструктуры. Под инфраструктурой в экономике понимают совокупность отраслей и видов деятельности который является внешним по отношению к основному производственному циклу обслуживает производственную и непроизводственную сферу экономики обеспечивая тем самым нормальное функционирование. Основных отраслей материального производства и развития производительных сил.
К инфраструктуре относят:
Транспорт и связь
Научные учреждения и учебные заведения
Коммунальные хозяйства
Учреждения культуры т.д.
Особенности экономических систем выделяют особенности производственной деятельности предприятия к относящихся к данной системы. Так особенности аграрной экономической системы вытекают из особенности сельскохозяйственного производства. Одной из особенностью сельхоз производства является то, что получение продукции, осуществляется здесь единственным путем, то есть биологического синтеза с помощью растений, выращиваемых в естественном грунте.
В отличие от таких средств производства, как машины, строения, подвергающиеся износу и требующие замены такие производственные ресурсы, как уголь, нефть, руда, запасы которых истощаются, земля при правильном ведении хозяйства, наоборот может превышать свое плодородие. Тоже можно отнести и к природным ресурсам: лесам, животный мир, рыбные запасы и т.д.
Ещё одной особенностью сельхоз производства является его цикличность, при чем циклы эти могут быть весьма длительными: земледелии от года до 2ух и более лет, в садоводстве и животноводстве более десятка лет. В течение цикла производства имеет место ситуации, когда интервалы времени, необходимые для превращения исходного материала в готовый продукт, не совпадает с интервалами времени, требующие воздействие труда. Так основной процесс роста и созревание зерновых культур происходит почти без приложения труда за счет естественных воздействий окружающей среды – атмосферной влаги и солнечной радиации. А так как эти факторы оказываются от года году весьма не постоянными и даже не поддаются долгосрочному прогнозированию, то тем самым выносится стохастичность и не возможность точного планирования в природу сельхоз производства.
Существенно отличается технологичные процессы промышленного и сельхоз производства.
В промышленном производстве сырье, предметы труда заключают в себе, как правило всю массу производимого продукта, так например, для изготовления автомобиля необходимо поставить на завод соответствующее количество метала, заготовок и других материала. Между тем исходным материалом для сельхоз производства является лишь значительно меньше по массе исходного материала, элементы, например семена, которые содержат только зародыши будущего биологического объекта и некоторое минимальное количество питательных веществ, необходимого для начальной стадии их развития. В дальнейшем масса производимого продукта создается в результате естественного роста и развития растений и животных, и усвоения нужных ингредиентов из внешней среды (почва, воздух, удобрение и т.д.). Это особенность сельхоз производства является его ещё одним фактором стохастичности.
Все перечисленные основные факторы и ряд других, менее существенных затрудняет достижение в сельском хозяйстве той ритмичности, организованности, высокой эффективности использования современной техники и средств автоматизации.
Федеральное Агентство Железнодорожного транспорта
Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Петербургский государственный университет путей сообщения
Кафедра «Электрическая тяга»
Якушев А.Я., Викулов И.П., Цаплин А.Е.
Влияние параметров САу
На устойчивость и качество регулирования
Методические указания к лабораторной работе
Санкт-Петербург
Цель работы - изучение основных параметров а также их соотношений, определяющих устойчивость и динамические свойства систем автоматического управления (САУ), характеризуемые видом переходных процессов изменения выходной переменной при возмущающих воздействиях.
Структурная схема САУ
Анализ динамических свойств системы автоматического управления обычно выполняют аналитически по структурной схеме или используя математическую модель системы. Оценку динамических свойств производят по реакции выходной переменной y(t) в виде переходной функции системына ступенчатое изменение задающего Dg×1(t) или возмущающего DZ×1(t) воздействий.
Структурной называют схему, составленную из операторных передаточных функций звеньев направленного действия, образующих систему автоматического управления. Основой для составления структурной схемы служит функциональная схема САУ (рис.1, а) и динамические характеристики составляющих ее элементов. Динамические характеристики функциональных элементов в структурной схеме представлены операторными передаточными функциями (рис. 1,б). Задающее воздействие g(t), возмущающее воздействие Z(t), выходная переменная y(t) на структурной схеме представлены операторными изображениями их конечных изменений, Dg(p), DZ(p), DY(р) относительноустановившихся уровней. Изменение выходной переменной DY(р) определяется операторными передаточными функциями замкнутой системы по задающему Dg(р) ивозмущающему DZ(р) воздействиям.
Динамические характеристики функциональных элементов САУ в большинстве случаев могут быть представлены апериодическими звеньями 1-го порядка, а также безынерционными усилительными звеньями. Характеристики более сложных функциональных элементов могут быть представлены двумя или несколькими звеньями.
В работе производится исследование переходных процессов автоматического регулирования при возмущающих воздействиях DZ=1(t) применительно к простейшей системе автоматического управления. На структурной схеме (рис. 1,б) функциональные элементы исследуемой системы: объект регулирования, исполнительное устройство, элемент обратной связи представлены апериодическими звеньями 1-го порядка. Динамические параметры функциональных элементов имеют обозначения: Т ор , Т иу , Т ос - постоянные времени, , , - коэффициенты усиления. В исследуемой системе применен регулятор с пропорциональным законом регулирования, характеризуемым коэффициентом усиления . Таким образом, анализ влияния параметров системы автоматического управления на её устойчивость и форму переходного процесса изменения выходной переменной производится применительно к системе 3-го порядка, составленной из усилительного звена и апериодических звеньев 1-го порядка.
Влияние параметров САУ на её устойчивость.
Устойчивостью системы автоматического управления называют способность системы при воздействиях на неё возмущающих факторов приходить с течением времени к равновесному состоянию. Различают устойчивость статическую и динамическую.
Статическая устойчивостьобеспечивается наличием отрицательной главной обратной связи и отсутствием местных положительных обратных связей в структурной схеме системы автоматического управления. Поэтому ее называют схемной устойчивостью. Аналитические условия обеспечения статической устойчивости определяется положительностью всех коэффициентов общего дифференциального или характеристического уравнений системы. Это условие называют необходимым условием устойчивости.
Характеристическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение, в котором показатели степени независимой переменной соответствуют порядку производных выходной переменной общего дифференциального уравнения системы:
Коэффициенты слагаемых характеристического уравнения равны коэффициентам при производных выходной переменной общего дифференциального уравнения системы автоматического управления:
Характеристическое уравнение может быть получено из полинома знаменателя передаточной функции замкнутой системы при использовании для анализа структурной схемы САУ .
Для исследуемой системы автоматического управления, структурная схема которой показана на рис. 1,б, передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию DZ(р) имеет следующий вид:
(1)
В выражении (1) обозначен К 0 общий коэффициент усиления, равный произведению коэффициентов усиления всех звеньев, входящих в замкнутый контур структурной схемы САУ:
. (2)
Для получения характеристического уравнения системы надо приравнять нулю знаменатель передаточной функции (1):
В результате преобразования получено характеристическое уравнение системы автоматического управления, представляющее собой алгебраическое уравнение третьей степени:
Коэффициенты этого уравнения определяются следующими выражениями:
. (4)
Из соотношений формул (4) видно, что все коэффициенты характеристического уравнения (3) положительны, следовательно, обеспечено необходимое условие устойчивости, т.е. исследуемая система автоматического управления статически устойчива.
Для оценки динамической устойчивости разработаны способы, определяющие достаточные условия, называемые критериями устойчивости. Одним из них является алгебраический критерий Гурвица. Согласно критерию устойчивости Гурвица условие динамической устойчивости системы третьего порядка определяется соотношением коэффициентов характеристического уравнения (3) :
Из соотношения (5) следует, что система будет устойчива, если общий коэффициент усиления системы , входящий в выражение коэффициента а 3 характеристического уравнения системы, будет меньше величины:
.
После подстановки в это неравенство выражений для коэффициентов (4) характеристического уравнения и некоторых преобразований получено соотношение для общего коэффициента усиления К 0 устойчивой системы 3-го порядка:
.
(6)
Критическим называют общий коэффициент усиления К 0кр, определяемый для системы 3-го порядка равенством (6), при котором система автоматического управления находится в граничном состоянии устойчивости. Из соотношения (6) следует, что при равенстве постоянных времени апериодических звеньев Т ор =Т иу =Т ос, определяется наименьшее значение критического коэффициента усиления системы 3- го порядка К 0кр = 8.
При изменении соотношений постоянных времени критический коэффициент усиления системы возрастает, например, при 
и 
, К
0кр =
16,8.
Работоспособность системы автоматического управления определяется не только устойчивостью, но и приемлемым характером переходного процесса выходной переменной при возмущающих воздействиях на систему. Практически величина общего коэффициента усиления К 0 , при которой характер и длительность переходного процесса будут удовлетворительными, должна быть примерно в 4…5раз меньше критического значения. Значит для приведённых в примерах соотношений постоянных времени общий коэффициент усиления реальной системы с удовлетворительным переходным процессом должен быть в пределах К 0 =2...4.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
Тема 4. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Диплом, это двадцать минут позора и кусок хлеба на всю жизнь. Временная функция многовариантна, характеристическое уравнение черт знает какого порядка, но система работает устойчиво. Стоит ли подводить под это дело еще и частотный анализ?
Владимир Кузьмин. Новосибирский геофизик Уральской школы. ХХ в.
Ты никогда не будешь достаточно знать, если не будешь знать больше чем достаточно.
Уильям Блейк.
Введение.
1. Критерии устойчивости. Понятие устойчивости системы. Условие устойчивости САУ. Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Рауса. Критерий Гурвица.
2. Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента. Критерий устойчивости Михайлова. Критерий устойчивости Найквиста.
3. Запас устойчивости систем. Понятие структурной устойчивости. Понятие запаса устойчивости. Анализ устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам.
4. Точность систем. Статическая точность. Динамическая точность.
5. Качество систем. Показатели качества систем управления. Показатели качества переходного процесса. Последовательное корректирующее устройство. Параллельное корректирующее устройство. Метод Солодовникова. Программы анализа качества процессов управления.
6. Случайные процессы в системах. Модели случайных сигналов. Фильтрация помех. Фильтр Винера. Частотная характеристика фильтра.
Введение
Важнейшей задачей анализа динамических систем управления является решение вопроса об их устойчивости. Техническое понятие устойчивости систем автоматического управления отражает свойство технической системы не только стабильно работать в нормальных режимах, но и "не уходить вразнос" при отклонении всевозможных параметров системы от номинала и влиянии на систему дестабилизирующих воздействий, т. е. способности системе возвращаться к равновесному состоянию, из которого она выводится возмущающими или управляющими воздействиями. Устойчивость системы - техническое требование в ряду более сложных требований, связанных с показателями качества и точности САУ.
4.1 . КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ .
Понятие устойчивости системы. Система находится в состоянии равновесия, если при отсутствии воздействия на систему возмущающих факторов ошибка регулирования (разность между заданным и фактическим состоянием системы) стремится к нулю. Под устойчивостью понимается способность динамической системы возвращаться в равновесное состояние после окончания действия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система после воздействия возмущения удаляется от равновесного состояния или начинает совершать вокруг него колебания с нарастающей амплитудой.
Возникновение неустойчивых (расходящихся) колебаний в системе можно проследить на примере следящей системы с обратной связью (рис. 4.1.1). Допустим, что в установившемся состоянии равновесия при опорном сигнале u o на регуляторе Р выходное состояние объекта управления ОУ равно y уст. Это состояние поддерживается сигналом рассогласования е уст, который формируется в регуляторе Р по разности опорного сигнала и сигнала обратной связи у ос-уст, т.е. е уст = u o -у ос-уст. В первый момент включения системы в силу инерционности обратной связи у ос = 0, а, следовательно, e(t) >> е уст, что вызывает нарастание выходной величины y(t), которая будет стремиться к y(t) >> у уст по крайней мере, до тех пор, пока сигнал обратной связи не начнет уменьшать значение e(t). Однако значительно возросшая величина y(t) через ОС передается на вход регулятора системы и может настолько существенно уменьшить значение e(t), что это может привести к последующему снижению величины выходного сигнала до значений y(t) << у уст, т.е. к возникновению колебательного процесса относительно равновесного состояния. При неблагоприятном соотношении параметров системы колебательный процесс может быть незатухающим и даже расходящимся. Пример такого процесса в концертной акустике хорошо известен – свист из динамиков, если коэффициент обратной связи от динамиков на микрофоны на определенных частотах становится положительным.
Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы. Говорят, что система устойчива "в малом", если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы. Соответственно, и задача исследования систем на устойчивость может быть поставлена двояко:
1) устойчива ли система при заданном значении ее параметров;
2) в каких диапазонах можно изменять параметры системы, не нарушая ее устойчивости.
Вторая задача исследования имеет место при наладке и эксплуатации систем автоматического управления.
В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения для системы ищется в виде:
y(t) = у св (t) + у вын (t). (4.1.1)
Здесь у св (t) – свободная составляющая, общее решение однородного дифференциального уравнения с нулевой правой частью:
a 0 y (n) + a 1 y (n-1) + ... + a n-1 y’ + a n y = 0,
т.е. когда все внешние воздействия сняты, и состояние системы определяются лишь собственной структурой.
Функция у вын (t) представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденной. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы при наличии на входе определенного воздействия u(t) или f(t) после окончания переходного процесса.
Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным уравнением (рис. 4.1.2). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей у вын = y(t®∞). Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = P o sin(wt+j), то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть у вын = y max sin(wt+j).
Только устойчивая система является работоспособной. Основы строгой теории устойчивости динамических систем были разработаны акад. А. М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения» (1892 г.). Понятия об устойчивости, вытекающие из этой работы, заключаются в следующем.
Если система описывается линейным дифференциальным уравнением, то ее устойчивость не зависит от величины возмущения. Линейная система, устойчивая при малых возмущениях, будет устойчива и при больших. Нелинейные системы могут быть устойчивы при малых возмущениях и неустойчивы при больших.
Наглядное представление о системах, устойчивых при малых и неустойчивых при больших возмущениях, дает поведение шара во впадине на рисунке слева. При малых воздействиях на шар и его малых отклонениях не выше края впадины шар возвращается в исходное положение и система шар - поверхность устойчива. При больших воздействиях с отклонением за край впадины шар не возвращается в исходное положение - система неустойчива. Поэтому устойчивость систем исследуется отдельно для случая малых и больших возмущений.Проблема устойчивости обычно возникает в замкнутых системах из-за влияния обратной связи. Поэтому в дальнейшем устойчивость исследуется на примерах замкнутых систем, хотя методы исследования устойчивости универсальны.
Условие устойчивости САУ. Применительно к сигналам в САУ частное решение для вынужденной составляющей обычно имеет простой вид, не влияющий на устойчивость. Вопрос устойчивости сводится к выяснению устойчивости свободного движения системы и требует анализа характера решения уравнения свободного движения, составленного относительно отклонения выходной величины y(t) от установившегося состояния.
Как известно, передаточная функция любой линейной динамической системы может быть приведена к виду:
W(p) = K(p)/H(p) =
= / , (4.1.2)
где a и b - постоянные коэффициенты, которые представляют собой вещественные числа и выражаются через конкретные физические параметры элементов системы. Полином К(р) может не содержать членов с оператором р и представлять собой произведение коэффициентов передачи звеньев, образующих систему.
Важнейшим свойством выражения (4.1.2) является условие n≥m, т. е. порядок полинома Н(р) знаменателя передаточной функции не ниже порядка полинома К(р) ее числителя. Это условие вытекает из физических свойств звеньев реальных динамических систем.