Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .
Примеры линейных уравнений:
- 3 x = 2
- 2 7 x = − 5
Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.
Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .
Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.
Для того, чтобы решить линейное уравнение , необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .
Примеры решения линейных уравнений:
- 2 x + 1 = 2 (x − 3) + 8
Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.
Попробуем преобразовать его к виду a x = b:
Для начала раскроем скобки:
2 x + 1 = 4 x − 6 + 8
В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:
2 x − 4 x = 2 − 1
Теперь поделим левую и правую часть на число (-2) :
− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5
Ответ: x = − 0,5
- x 2 − 1 = 0
Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.
- x (x + 3) − 8 = x − 1
Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:
x 2 + 3 x − 8 = x − 1
Это уравнение не является линейным уравнением.
Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)
Примеры:
- 2 x − 4 = 2 (x − 2)
2 x − 4 = 2 x − 4
2 x − 2 x = − 4 + 4
И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.
Ответ: x ∈ (− ∞ ; + ∞)
- 2 x − 4 = 2 (x − 8)
Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
2 x − 4 = 2 x − 16
2 x − 2 x = − 16 + 4
В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как. Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.
Ответ: x ∈ ∅
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .
Алгоритм решения квадратного уравнения:
- Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
- Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
- Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
- Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
- Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
- Если D < 0, решений нет: x ∈ ∅
Примеры решения квадратного уравнения:
- − x 2 + 6 x + 7 = 0
a = − 1, b = 6, c = 7
D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64
D > 0 – будет два различных корня:
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ (− 1) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7
Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7
- − x 2 + 4 x − 4 = 0
a = − 1, b = 4, c = − 4
D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ (− 4) = 16 − 16 = 0
D = 0 – будет один корень:
x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ (− 1) = − 4 − 2 = 2
Ответ: x = 2
- 2 x 2 − 7 x + 10 = 0
a = 2, b = − 7, c = 10
D = b 2 − 4 a c = (− 7) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31
D < 0 – решений нет.
Ответ: x ∈ ∅
Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!
Разложение квадратного трехчлена на множители
Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:
A x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)
где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,
x – переменная (то есть буква),
x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.
Если квадратное уравнение имеет только один корень, то разложение выглядит так:
a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 0) 2
Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:
- − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7
− x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)
- − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2
− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2
Если квадратный трехчлен является неполным, ((b = 0 или c = 0) то его можно разложить на множители следующими способами:
- c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)
- b = 0 ⇒ применить для разности квадратов.
Дробно рациональные уравнения
Пусть f (x) и g (x) – некоторые функции, зависящие от переменной x .
Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f (x) g (x) = 0 .
Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.
ОДЗ – область допустимых значений переменной.
В выражении вида f (x) g (x) = 0
ОДЗ: g (x) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).
Алгоритм решения дробно рационального уравнения:
- Выписать ОДЗ: g (x) ≠ 0.
- Приравнять числитель дроби к нулю f (x) = 0 и найти корни.
Пример решения дробного рационального уравнения:
Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.
Решение:
Будем действовать в соответствии с алгоритмом.
- Привести выражение к виду f (x) g (x) = 0 .
Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:
x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0
x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0
x 2 − 4 − (2 − x) 2 − x = 0
x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0
x 2 + x − 6 2 − x = 0
Первый шаг алгоритма выполнен успешно.
- Выписать ОДЗ:
Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2
- Приравнять числитель дроби к нулю f (x) = 0 и найти корни:
x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.
a = 1, b = 1, c = − 6
D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 6) = 1 + 24 = 25
D > 0 – будет два различных корня.
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3
[ x 1 = 2 x 2 = − 3
- Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.
Корни, полученные на предыдущем шаге:
[ x 1 = 2 x 2 = − 3
Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.
Ответ: x = − 3.
Системы уравнений
Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
Пример системы уравнений
{ x + 2 y = 8 3 x − y = − 4
Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.
Существует два метода решений систем линейных уравнений:
- Метод подстановки.
- Метод сложения.
Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:
- Найти оставшуюся неизвестную.
Пример:
Решить систему уравнений методом подстановки
{ x + 2 y = 8 3 x − y = − 4
Решение:
- Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
{ x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4
- Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
{ x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4
{ x = 8 − 2 y 3 (8 − 2 y) − y = − 4
- Решить уравнение с одной неизвестной.
3 (8 − 2 y) − y = − 4
24 − 6 y − y = − 4
− 7 y = − 4 − 24
− 7 y = − 28
y = − 28 − 7 = 28 7 = 4
- Найти оставшуюся неизвестную.
x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0
Ответ можно записать одним из трех способов:
- x = 0, y = 4
- { x = 0 y = 4
- (0 ; 4)
Решение системы уравнений методом сложения.
Метод сложения основывается на следующем свойстве:
(a + c) = (b + d)
Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.
Пример:
Решить систему уравнений методом сложения
{ x + 2 y = 8 3 x − y = − 4
Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент (− 3) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на (− 3) .
Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы .
Пример:
Пара значений \(x=3\);\(y=-1\) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо \(x\) и \(y\), оба уравнения превратятся в верные равенства \(\begin{cases}3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end{cases}\)
А вот \(x=1\); \(y=-2\) - не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» \(\begin{cases}1-2\cdot(-2)=5 \\3\cdot1+2\cdot(-2)≠7 \end{cases}\)
Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо "\(x=3\); \(y=-1\)" пишут так: \((3;-1)\).
Как решить систему линейных уравнений?
Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:
- Способ подстановки.
-
\(\begin{cases}13x+9y=17\\12x-2y=26\end{cases}\)
Во втором уравнении каждое слагаемое - четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на \(2\).
\(\begin{cases}13x+9y=17\\6x-y=13\end{cases}\)
Эту систему линейных уравнений можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.
\(\begin{cases}13x+9y=17\\y=6x-13\end{cases}\)
Подставим \(6x-13\) вместо \(y\) в первое уравнение.
\(\begin{cases}13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end{cases}\)
Первое уравнение превратилась в обычное . Решаем его.
Сначала раскроем скобки.
\(\begin{cases}13x+54x-117=17\\y=6x-13\end{cases}\)
Перенесем \(117\) вправо и приведем подобные слагаемые.
\(\begin{cases}67x=134\\y=6x-13\end{cases}\)
Поделим обе части первого уравнения на \(67\).
\(\begin{cases}x=2\\y=6x-13\end{cases}\)
Ура, мы нашли \(x\)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем \(y\).
\(\begin{cases}x=2\\y=12-13\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}\)
Запишем ответ.
Давайте разберемся, как же решать системы уравнений способом подстановки?
1) Выразим из первого или второго уравнения системы неизвестное х или у (как нам удобнее);
2) Подставим в другое уравнение (в то, из которого не выражали неизвестное) вместо неизвестного х или у (если выражали х , подставляем вместо х ; если выражали у , подставляем вместо у ) полученное выражение;
3) Решаем уравнение, которое получили. Находим х или у;
4) Подставляем полученное значение неизвестного и находим второе неизвестное.
Правило записано . Теперь давайте попробуем применить его при решении системы уравнений.
Пример 1 .
Внимательно посмотрим на систему уравнений. Замечаем, что из первого уравнения легче выразить у .
Выражаем у :
–2у = 11 – 3х
у = (11 – 3х)/(–2)
у = –5,5 + 1,5х
Теперь аккуратно подставим во второе уравнение вместо у выражение –5,5 + 1,5х.
Получим: 4х – 5(–5,5 + 1,5х) = 3
Решаем это уравнение:
4х + 27,5 – 7,5х = 3
–3,5х = 3 – 27,5
–3,5х = –24,5
х = –24,5/(–3,5)
Подставляем в выражение у = – 5,5 + 1,5х вместо х значение, которое мы нашли. Получаем:
у = – 5,5+ 1,5 · 7 = –5,5 + 10,5 = 5.
Ответ: (7; 5)
Интересно, а если выразить из первого уравнения не у , а х , измениться ли ответ?
Давайте попробуем выразить х из первого уравнения.
х = (11 + 2у)/3
Подставим вместо х во второе уравнение выражение (11 +2у)/3, получим уравнение с одним неизвестным и решим его.
4(11 + 2у)/3 – 5у = 3, умножим обе части уравнения на 3, получим
4(11 + 2у) – 15у=9
44 + 8у – 15у = 9
–7у = 9 – 44
у = –35/(–7)
Находим переменную х, подставляя 5 в выражение х = (11 +2у)/3.
х = (11 +2·5)/3 = (11+10)/3 = 21/3 = 7
Ответ: (7; 5)
Как видите, ответ получился такой же . Если вы будете внимательны и аккуратны, то независимо от того, какую переменную вы выражаете – х или у , ответ получите правильный.
Довольно часто ученики спрашивают: «Есть ли еще другие способы решения систем, кроме сложения и подстановки? »
Есть некоторое видоизменение способа подстановки – способ сравнивания неизвестных .
1) Надо из каждого уравнения системы выразить одно и то же неизвестное через второе.
2) Полученные неизвестные сравнивают, получают уравнение с одним неизвестным.
3) Находят значение одного неизвестного.
4) Подставляют полученное значение неизвестного и находят второе неизвестное.
Пример 2 . Решить систему уравнений
Из двух уравнений выразим переменную х через у .
Получим из первого уравнения х = (13 – 6у) / 5, а из второго х = (–1 – 18у) / 7.
Сравнивая эти выражения, получаем уравнение с одним неизвестным и решаем его:
(13 – 6у) / 5 = (–1 – 18у) / 7
7 (13 – 6у) = 5 (–1 – 18у)
91 – 42у = –5 – 90у
–42у + 90у = –5 – 91
у = – 96 / 48
Неизвестное х найдем подставив значение у в одно из выражений для х .
(13 – 6(– 2)) / 5= (13+12) / 5 = 25/5 = 5
Ответ: (5; –2).
Думаю, что и у вас все получиться. Если остались вопросы, приходите ко мне на уроки .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Содержание урокаЛинейные уравнения с двумя переменными
У школьника имеется 200 рублей, чтобы пообедать в школе. Пирожное стоит 25 рублей, а чашка кофе 10 рублей. Сколько пирожных и чашек кофе можно накупить на 200 рублей?
Обозначим количество пирожных через x , а количество чашек кофе через y . Тогда стоимость пирожных будет обозначаться через выражение 25x , а стоимость чашек кофе через 10y .
25x —
стоимость x
пирожных
10y —
стоимость y
чашек кофе
Итоговая сумма должна равняться 200 рублей. Тогда получится уравнение с двумя переменными x и y
25x + 10y = 200
Сколько корней имеет данное уравнение?
Всё зависит от аппетита школьника. Если он купит 6 пирожных и 5 чашек кофе, то корнями уравнения будут числа 6 и 5.
Говорят, что пара значений 6 и 5 являются корнями уравнения 25x + 10y = 200 . Записывается как (6; 5) , при этом первое число является значением переменной x , а второе — значением переменной y .
6 и 5 не единственные корни, которые обращают уравнение 25x + 10y = 200 в тождество. При желании на те же 200 рублей школьник может купить 4 пирожных и 10 чашек кофе:
В этом случае корнями уравнения 25x + 10y = 200 является пара значений (4; 10) .
Более того, школьник может вообще не покупать кофе, а купить пирожные на все 200 рублей. Тогда корнями уравнения 25x + 10y = 200 будут значения 8 и 0
Или наоборот, не покупать пирожные, а купить кофе на все 200 рублей. Тогда корнями уравнения 25x + 10y = 200 будут значения 0 и 20
Попробуем перечислить все возможные корни уравнения 25x + 10y = 200 . Условимся, что значения x и y принадлежат множеству целых чисел. И пусть эти значения будут бóльшими или равными нулю:
x
∈ Z, y
∈ Z;
x ≥
0, y ≥
0
Так будет удобно и самому школьнику. Пирожные удобнее покупать целыми, чем к примеру несколько целых пирожных и половину пирожного. Кофе также удобнее брать целыми чашками, чем к примеру несколько целых чашек и половину чашки.
Заметим, что при нечетном x невозможно достичь равенства ни при каком y . Тогда значениями x будут следующие числа 0, 2, 4, 6, 8. А зная x можно без труда определить y
Таким образом, мы получили следующие пары значений (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Эти пары являются решениями или корнями уравнения 25x + 10y = 200 .Они обращают данное уравнение в тождество.
Уравнение вида ax + by = c называют линейным уравнением с двумя переменными . Решением или корнями этого уравнения называют пару значений (x; y ), которая обращает его в тождество.
Отметим также, что если линейное уравнение с двумя переменными записано в виде ax + b y = c , то говорят, что оно записано в каноническом (нормальном) виде.
Некоторые линейные уравнения с двумя переменными могут быть приведены к каноническому виду.
Например, уравнение 2(16x + 3y − 4) = 2(12 + 8x − y ) можно привести к виду ax + by = c . Раскроем скобки в обеих частях этого уравнения, получим 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой. Тогда получим 32x − 16x + 6y + 2y = 24 + 8 . Приведём подобные слагаемые в обеих частях, получим уравнение 16x + 8y = 32. Это уравнение приведено к виду ax + by = c и является каноническим.
Рассмотренное ранее уравнение 25x + 10y = 200 также является линейным уравнением с двумя переменными в каноническом виде. В этом уравнении параметры a , b и c равны значениям 25, 10 и 200 соответственно.
На самом деле уравнение ax + by = c имеет бесчисленное множество решений. Решая уравнение 25x + 10y = 200, мы искали его корни толькона множестве целых чисел. В результате получили несколько пар значений, которые обращали данное уравнение в тождество. Но на множестве рациональных чисел уравнение 25x + 10y = 200 будет иметь бесчисленное множество решений.
Для получения новых пар значений, нужно взять произвольное значение для x , затем выразить y . К примеру, возьмем для переменной x значение 7. Тогда получим уравнение с одной переменной 25 × 7 + 10y = 200 в котором можно выразить y
Пусть x = 15 . Тогда уравнение 25x + 10y = 200 примет вид 25 × 15 + 10y = 200. Отсюда находим, что y = −17,5
Пусть x = −3 . Тогда уравнение 25x + 10y = 200 примет вид 25 × (−3) + 10y = 200. Отсюда находим, что y = −27,5
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Для уравнения ax + by = c можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y . Отдельно взятое такое уравнение будет иметь бесчисленное множество решений.
Но бывает и так, что переменные x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. В этом случае они образуют так называемую систему линейных уравнений с двумя переменными . Такая система уравнений может иметь одну пару значений (или по-другому: «одно решение»).
Может случиться и так, что система вовсе не имеет решений. Бесчисленное множество решений система линейных уравнений может иметь в редких и в исключительных случаях.
Два линейных уравнения образуют систему тогда, когда значения x и y входят в каждое из этих уравнений.
Вернемся к самому первому уравнению 25x + 10y = 200 . Одной из пар значений для этого уравнения была пара (6; 5) . Это случай, когда на 200 рублей можно можно было купить 6 пирожных и 5 чашек кофе.
Составим задачу так, чтобы пара (6; 5) стала единственным решением для уравнения 25x + 10y = 200 . Для этого составим ещё одно уравнение, которое связывало бы те же x пирожных и y чашечек кофе.
Поставим текст задачи следующим образом:
«Школьник купил на 200 рублей несколько пирожных и несколько чашек кофе. Пирожное стоит 25 рублей, а чашка кофе 10 рублей. Сколько пирожных и чашек кофе купил школьник, если известно что количество пирожных на одну единицу больше количества чашек кофе?»
Первое уравнение у нас уже есть. Это уравнение 25x + 10y = 200 . Теперь составим уравнение к условию «количество пирожных на одну единицу больше количества чашек кофе» .
Количество пирожных это x , а количество чашек кофе это y . Можно записать эту фразу с помощью уравнения x − y = 1. Это уравнение будет означать, что разница между пирожными и кофе составляет 1.
x = y + 1 . Это уравнение означает, что количество пирожных на единицу больше, чем количество чашек кофе. Поэтому для получения равенства, к количеству чашек кофе прибавлена единица. Это легко можно понять, если воспользоваться моделью весов, которые мы рассматривали при изучении простейших задач:
Получили два уравнения: 25x + 10y = 200 и x = y + 1. Поскольку значения x и y , а именно 6 и 5 входят в каждое из этих уравнений, то вместе они образуют систему. Запишем эту систему. Если уравнения образуют систему, то они обрамляются знаком системы. Знак системы это фигурная скобка:
Давайте решим данную систему. Это позволит увидеть, как мы придём к значениям 6 и 5. Существует много методов решения таких систем. Рассмотрим наиболее популярные из них.
Метод подстановки
Название этого метода говорит само за себя. Суть его заключается в том, чтобы одно уравнение подставить в другое, предварительно выразив одну из переменных.
В нашей системе ничего выражать не нужно. Во втором уравнении x = y + 1 переменная x уже выражена. Эта переменная равна выражению y + 1 . Тогда можно подставить это выражение в первое уравнение вместо переменной x
После подстановки выражения y + 1 в первое уравнение вместо x , получим уравнение 25(y + 1) + 10y = 200 . Это линейное уравнение с одной переменной. Такое уравнение решить довольно просто:
Мы нашли значение переменной y . Теперь подставим это значение в одно из уравнений и найдём значение x . Для этого удобно использовать второе уравнение x = y + 1 . В него и подставим значение y
Значит пара (6; 5) является решением системы уравнений, как мы и задумывали. Выполняем проверку и убеждаемся, что пара (6; 5) удовлетворяет системе:
Пример 2
Подставим первое уравнение x = 2 + y во второе уравнение 3x − 2y = 9 . В первом уравнении переменная x равна выражению 2 + y . Это выражение и подставим во второе уравнение вместо x
Теперь найдём значение x . Для этого подставим значение y в первое уравнение x = 2 + y
Значит решением системы является пара значение (5; 3)
Пример 3 . Решить методом подстановки следующую систему уравнений:
Здесь в отличие от предыдущих примеров, одна из переменных не выражена явно.
Чтобы подставить одно уравнение в другое, сначала нужно .
Выражать желательно ту переменную, которая имеет коэффициент единицу. Коэффициент единицу имеет переменная x , которая содержится в первом уравнении x + 2y = 11 . Эту переменную и выразим.
После выражения переменной x , наша система примет следующий вид:
Теперь подставим первое уравнение во второе и найдем значение y
Подставим y x
Значит решением системы является пара значений (3; 4)
Конечно, выражать можно и переменную y . Корни от этого не изменятся. Но если выразить y, получится не очень-то и простое уравнение, на решение которого уйдет больше времени. Выглядеть это будет следующим образом:
Видим, что в данном примере выражать x намного удобнее, чем выражать y .
Пример 4 . Решить методом подстановки следующую систему уравнений:
Выразим в первом уравнении x . Тогда система примет вид:
y
Подставим y в первое уравнение и найдём x . Можно воспользоваться изначальным уравнением 7x + 9y = 8 , либо воспользоваться уравнением , в котором выражена переменная x . Этим уравнением и воспользуемся, поскольку это удобно:
Значит решением системы является пара значений (5; −3)
Метод сложения
Метод сложения заключается в том, чтобы почленно сложить уравнения, входящие в систему. Это сложение приводит к тому, что образуется новое уравнение с одной переменной. А решить такое уравнение довольно просто.
Решим следующую систему уравнений:
Сложим левую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения. А правую часть первого уравнения с правой частью второго уравнения. Получим следующее равенство:
Приведем подобные слагаемые:
В результате получили простейшее уравнение 3x = 27 корень которого равен 9. Зная значение x можно найти значение y . Подставим значение x во второе уравнение x − y = 3 . Получим 9 − y = 3 . Отсюда y = 6 .
Значит решением системы является пара значений (9; 6)
Пример 2
Сложим левую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения. А правую часть первого уравнения с правой частью второго уравнения. В получившемся равенстве приведем подобные слагаемые:
В результате получили простейшее уравнение 5x = 20, корень которого равен 4. Зная значение x можно найти значение y . Подставим значение x в первое уравнение 2x + y = 11 . Получим 8 + y = 11 . Отсюда y = 3 .
Значит решением системы является пара значений (4;3)
Процесс сложения подробно не расписывают. Его нужно выполнять в уме. При сложении оба уравнения должны быть приведены к каноническому виду. То есть к виду ac + by = c .
Из рассмотренных примеров видно, что основная цель сложения уравнений это избавление от одной из переменных. Но не всегда удаётся сразу решить систему уравнений методом сложения. Чаще всего систему предварительно приводят к виду, при котором можно сложить уравнения, входящие в эту систему.
Например, систему можно сразу решить методом сложения. При сложении обоих уравнений, слагаемые y и −y исчезнут, поскольку их сумма равна нулю. В результате образуется простейшее уравнение 11x = 22 , корень которого равен 2. Затем можно будет определить y равный 5.
А систему уравнений методом сложения сразу решить нельзя, поскольку это не приведёт к исчезновению одной из переменных. Сложение приведет к тому, что образуется уравнение 8x + y = 28 , имеющее бесчисленное множество решений.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному. Это правило справедливо и для системы линейных уравнений с двумя переменными. Одно из уравнений (или оба уравнения) можно умножить на какое-нибудь число. В результате получится равносильная система, корни которой будут совпадать с предыдущей.
Вернемся к самой первой системе , которая описывала сколько пирожных и чашек кофе купил школьник. Решением этой системы являлась пара значений (6; 5) .
Умножим оба уравнения, входящие в эту систему на какие-нибудь числа. Скажем первое уравнение умножим на 2, а второе на 3
В результате получили систему
Решением этой системы по-прежнему является пара значений (6; 5)
Это значит, что уравнения входящие в систему можно привести к виду, пригодному для применения метода сложения.
Вернемся к системе , которую мы не смогли решить методом сложения.
Умножим первое уравнение на 6, а второе на −2
Тогда получим следующую систему:
Сложим уравнения, входящие в эту систему. Сложение компонентов 12x и −12x даст в результате 0, сложение 18y и 4y даст 22y , а сложение 108 и −20 даст 88. Тогда получится уравнение 22y = 88 , отсюда y = 4 .
Если первое время тяжело складывать уравнения в уме, то можно записывать как складывается левая часть первого уравнения с левой частью второго уравнения, а правая часть первого уравнения с правой частью второго уравнения:
Зная, что значение переменной y равно 4, можно найти значение x . Подставим y в одно из уравнений, например в первое уравнение 2x + 3y = 18 . Тогда получим уравнение с одной переменной 2x + 12 = 18 . Перенесем 12 в правую часть, изменив знак, получим 2x = 6 , отсюда x = 3 .
Пример 4 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:
Умножим второе уравнение на −1. Тогда система примет следующий вид:
Сложим оба уравнения. Сложение компонентов x и −x даст в результате 0, сложение 5y и 3y даст 8y , а сложение 7 и 1 даст 8. В результате получится уравнение 8y = 8 , корень которого равен 1. Зная, что значение y равно 1, можно найти значение x .
Подставим y в первое уравнение, получим x + 5 = 7 , отсюда x = 2
Пример 5 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:
Желательно, чтобы слагаемые содержащие одинаковые переменные, располагались друг под другом. Поэтому во втором уравнении слагаемые 5y и −2x поменяем местами. В результате система примет вид:
Умножим второе уравнение на 3. Тогда система примет вид:
Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения получим уравнение 8y = 16 , корень которого равен 2.
Подставим y в первое уравнение, получим 6x − 14 = 40 . Перенесем слагаемое −14 в правую часть, изменив знак, получим 6x = 54 . Отсюда x = 9.
Пример 6 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:
Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 36, а второе на 12
В получившейся системе первое уравнение можно умножить на −5, а второе на 8
Сложим уравнения в получившейся системе. Тогда получим простейшее уравнение −13y = −156 . Отсюда y = 12 . Подставим y в первое уравнение и найдем x
Пример 7 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:
Приведем оба уравнения к нормальному виду. Здесь удобно применить правило пропорции в обоих уравнениях. Если в первом уравнении правую часть представить как , а правую часть второго уравнения как , то система примет вид:
У нас получилась пропорция. Перемножим её крайние и средние члены. Тогда система примет вид:
Первое уравнение умножим на −3, а во втором раскроем скобки:
Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения этих уравнений, мы получим равенство, в обеих частях которого будет ноль:
Получается, что система имеет бесчисленное множество решений.
Но мы не можем просто так взять с неба произвольные значения для x и y . Мы можем указать одно из значений, а другое определится в зависимости от значения, указанного нами. Например, пусть x = 2 . Подставим это значение в систему:
В результате решения одного из уравнений, определится значение для y , которое будет удовлетворять обоим уравнениям:
Получившаяся пара значений (2; −2) будет удовлетворять системе:
Найдём еще одну пару значений. Пусть x = 4. Подставим это значение в систему:
На глаз можно определить, что значение y равно нулю. Тогда получим пару значений (4; 0), которая удовлетворяет нашей системе:
Пример 8 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:
Умножим первое уравнение на 6, а второе на 12
Перепишем то, что осталось:
Первое уравнение умножим на −1. Тогда система примет вид:
Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения образуется уравнение 6b = 48 , корень которого равен 8. Подставим b в первое уравнение и найдём a
Система линейных уравнений с тремя переменными
В линейное уравнение с тремя переменными входит три переменные с коэффициентами, а также свободный член. В каноническом виде его можно записать следующим образом:
ax + by + cz = d
Данное уравнение имеет бесчисленное множество решений. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Решением в этом случае является тройка значений (x; y; z ) которая обращает уравнение в тождество.
Если переменные x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех линейных уравнений с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять те же методы, которые применяются к линейным уравнениям с двумя переменными: метод подстановки и метод сложения.
Пример 1 . Решить следующую систему уравнений методом подстановки:
Выразим в третьем уравнении x . Тогда система примет вид:
Теперь выполним подстановку. Переменная x равна выражению 3 − 2y − 2z . Подставим это выражение в первое и второе уравнение:
Раскроем скобки в обоих уравнениях и приведём подобные слагаемые:
Мы пришли к системе линейных уравнений с двумя переменными. В данном случае удобно применить метод сложения. В результате переменная y исчезнет, и мы сможем найти значение переменной z
Теперь найдём значение y . Для этого удобно воспользоваться уравнением −y + z = 4. Подставим в него значение z
Теперь найдём значение x . Для этого удобно воспользоваться уравнением x = 3 − 2y − 2z . Подставим в него значения y и z
Таким образом, тройка значений (3; −2; 2) является решением нашей системы. Проверкой убеждаемся, что эти значения удовлетворяют системе:
Пример 2 . Решить систему методом сложения
Сложим первое уравнение со вторым, умноженным на −2.
Если второе уравнение умножить на −2, то оно примет вид −6x + 6y − 4z = −4 . Теперь сложим его с первым уравнением:
Видим, что в результате элементарных преобразований, определилось значение переменной x . Оно равно единице.
Вернемся к главной системе. Сложим второе уравнение с третьим, умноженным на −1. Если третье уравнение умножить на −1, то оно примет вид −4x + 5y − 2z = −1 . Теперь сложим его со вторым уравнением:
Получили уравнение x − 2y = −1 . Подставим в него значение x , которое мы находили ранее. Тогда мы сможем определить значение y
Теперь нам известны значения x и y . Это позволяет определить значение z . Воспользуемся одним из уравнений, входящим в систему:
Таким образом, тройка значений (1; 1; 1) является решением нашей системы. Проверкой убеждаемся, что эти значения удовлетворяют системе:
Задачи на составление систем линейных уравнений
Задача на составление систем уравнений решается путем ввода нескольких переменных. Далее составляются уравнения на основании условий задачи. Из составленных уравнений образуют систему и решают её. Решив систему, необходимо выполнить проверку на то, удовлетворяет ли её решение условиям задачи.
Задача 1 . Из города в колхоз выехала машина «Волга». Обратно она возвращалась по другой дороге, которая была на 5 км короче первой. Всего в оба конца машина проехала 35 км. Сколько километров составляет длина каждой дороги?
Решение
Пусть x — длина первой дороги, y — длина второй. Если в оба конца машина проехала 35 км, то первое уравнение можно записать как x + y = 35. Это уравнение описывает сумму длин обеих дорог.
Сказано, что обратно машина возвращалась по дороге которая была короче первой на 5 км. Тогда второе уравнение можно записать как x − y = 5. Это уравнение показывает, что разница между длинами дорог составляет 5 км.
Либо второе уравнение можно записать как x = y + 5 . Этим уравнением и воспользуемся.
Поскольку переменные x и y в обоих уравнениях обозначают одно и то же число, то мы можем образовать из них систему:
Решим эту систему каким-нибудь из изученных ранее методов. В данном случае удобно воспользоваться методом подстановки, поскольку во втором уравнении переменная x уже выражена.
Подставим второе уравнение в первое и найдём y
Подставим найденное значение y в во второе уравнение x = y + 5 и найдём x
Длина первой дороги была обозначена через переменную x . Теперь мы нашли её значение. Переменная x равна 20. Значит длина первой дороги составляет 20 км.
А длина второй дороги была обозначена через y . Значение этой переменной равно 15. Значит длина второй дороги составляет 15 км.
Выполним проверку. Для начала убедимся, что система решена правильно:
Теперь проверим удовлетворяет ли решение (20; 15) условиям задачи.
Было сказано, что всего в оба конца машина проехала 35 км. Складываем длины обеих дорог и убеждаемся, что решение (20; 15) удовлетворяет данному условию: 20 км + 15 км = 35 км
Следующее условие: обратно машина возвращалась по другой дороге, которая была на 5 км короче первой . Видим, что решение (20; 15) удовлетворяет и этому условию, поскольку 15 км короче, чем 20 км на 5 км: 20 км − 15 км = 5 км
При составлении системы важно, чтобы переменные обозначали одни и те же числа во всех уравнениях, входящих в эту систему.
Так наша система содержит два уравнения. Эти уравнения в свою очередь содержат переменные x и y , которые обозначают одни и те же числа в обоих уравнениях, а именно длины дорог, равных 20 км и 15 км.
Задача 2 . На платформу были погружены дубовые и сосновые шпалы, всего 300 шпал. Известно, что все дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем все сосновые. Определить, сколько было дубовых и сосновых шпал отдельно, если каждая дубовая шпала весила 46 кг, а каждая сосновая 28 кг.
Решение
Пусть x дубовых и y сосновых шпал было погружено на платформу. Если всего шпал было 300, то первое уравнение можно записать как x + y = 300 .
Все дубовые шпалы весили 46x кг, а сосновые весили 28y кг. Поскольку дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем сосновые, то второе уравнение можно записать, как 28y − 46x = 1000 . Это уравнение показывает, что разница масс между дубовыми и сосновыми шпалами, составляет 1000 кг.
Тонны были переведены в килограммы, поскольку масса дубовых и сосновых шпал измерена в килограммах.
В результате получаем два уравнения, которые образуют систему
Решим данную систему. Выразим в первом уравнении x . Тогда система примет вид:
Подставим первое уравнение во второе и найдём y
Подставим y в уравнение x = 300 − y и узнаем чему равно x
Значит на платформу было погружено 100 дубовых и 200 сосновых шпал.
Проверим удовлетворяет ли решение (100; 200) условиям задачи. Для начала убедимся, что система решена правильно:
Было сказано, что всего было 300 шпал. Складываем количество дубовых и сосновых шпал и убеждаемся, что решение (100; 200) удовлетворяет данному условию: 100 + 200 = 300.
Следующее условие: все дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем все сосновые . Видим, что решение (100; 200) удовлетворяет и этому условию, поскольку 46 × 100 кг дубовых шпал легче, чем 28 × 200 кг сосновых шпал: 5600 кг − 4600 кг = 1000 кг.
Задача 3 . Взяли три куска сплава меди с никелем в отношениях 2: 1 , 3: 1 и 5: 1 по массе. Из них сплавлен кусок массой 12 кг с отношением содержания меди и никеля 4: 1 . Найдите массу каждого исходного куска, если масса первого из них вдвое больше массы второго.
Обычно уравнения системы записывают в столбик одно под другим и объединяют фигурной скобкой
Система уравнений такого вида, где a, b, c - числа, а x, y - переменные, называется системой линейных уравнений .
При решении системы уравнений используют свойства, справедливые для решения уравнений .
Решение системы линейных уравнений способом подстановки
Рассмотрим пример
1) Выразить в одном из уравнений переменную. Например, выразим y в первом уравнении, получим систему:
2) Подставляем во второе уравнение системы вместо y выражение 3х-7 :
3) Решаем полученное второе уравнение:
4) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:
Система уравнений имеет единственное решение: пару чисел x=1, y=-4 . Ответ: (1; -4) , записывается в скобках, на первой позиции значение x , на второй - y .
Решение системы линейных уравнений способом сложения
Решим систему уравнений из предыдущего примера методом сложения.
1) Преобразовать систему таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными . Умножим первое уравнение системы на "3".
2) Складываем почленно уравнения системы. Второе уравнение системы (любое) переписываем без изменений.
3) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:
Решение системы линейных уравнений графическим способом
Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.
Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь бесконечное множество решений.
2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.
Графическое решение системы
Метод введения новых переменных
Замена переменных может привести к решению более простой системы уравнений, чем исходная.
Рассмотрим решение системы
Введем замену , тогда
Переходим к первоначальным переменным
Особые случаи
Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных.