Одной из базовых геометрических фигур является треугольник. Он образуется при пересечении трех отрезков прямых. Данные отрезки прямых формируют стороны фигуры, а точки их пересечения называются вершинами. Каждый школьник, изучающий курс геометрии, обязан уметь находить периметр этой фигуры. Полученное умение будет полезным для многих и во взрослой жизни, к примеру, пригодится студенту, инженеру, строителю,
Существуют разные способы найти периметр треугольника. Выбор необходимой для вас формулы зависит от имеющихся исходных данных. Чтобы записать данную величину в математической терминологии используют специальное обозначение – Р. Рассмотрим, что такое периметр, основные способы его расчета для треугольных фигур разных видов.
Самым простым способом найти периметр фигуры, если есть данные всех сторон. В этом случае используется следующая формула:
Буквой «P» обозначается сама величина периметра. В свою очередь «a», «b» и «c» – это длины сторон.
Зная размер трех величин, достаточно будет получить их сумму, которая и является периметром.
Альтернативный вариант
В математических задачах все данные длины редко бывают известны. В таких случаях рекомендуется воспользоваться альтернативным способом поиска нужной величины. Когда в условиях указана длина двух прямых, а также угол, находящийся между ними, расчет производится через поиск третьей. Для поиска этого числа необходимо добыть квадратный корень по формуле:
.
Периметр по двум сторонам
Для расчета периметра не обязательно знать все данные геометрической фигуры. Рассмотрим способы расчета по двум сторонам.
Равнобедренный треугольник
Равнобедренным называется такой треугольник, не меньше двух сторон которого имеют одинаковую длину. Они называются боковыми, а третья сторона – основанием. Равные прямые образовывают вершинный угол. Особенностью в равнобедренном треугольникеявляется наличие одной оси симметрии. Ось – вертикальная линия, выходящая из вершинного угла и заканчивающаяся посредине основания. По своей сути ось симметрии включает в себя такие понятия:
- биссектриса вершинного угла;
- медиана к основанию;
- высота треугольника;
- срединный перпендикуляр.
Чтобы определить периметр равнобедренного вида треугольной фигуры, воспользуйтесь формулой.
В данном случае вам необходимо знать только две величины: основание и длину одной стороны. Обозначение «2а» подразумевает умножение длины боковой стороны на 2. К полученной цифре нужно добавить величину основания – «b».
В исключительном случае, когда длина основания равнобедренного треугольника равна его боковой прямой, можно воспользоваться более простым способом. Он выражается в следующей формуле:
Для получения результата достаточно умножить это число на три. Эта формула используется для того, чтобы найти периметр правильного треугольника.
Полезное видео: задачи на периметр труегольника
Треугольник прямоугольный
Главным отличием прямоугольного треугольника от других геометрических фигур этой категории является наличие угла 90°. По этому признаку и определяется вид фигуры. Прежде, чем определить, как найти периметр прямоугольного треугольника, стоит заметить, что данная величина для любой плоской геометрической фигуры составляет сумму всех сторон. Так и в этом случае самый простой способ узнать результат – суммировать три величины.
В научной терминологии те стороны, которые прилегают к прямому углу, имеют название «катеты», а противоположная к углу 90º – гипотенуза. Особенности этой фигуры исследовались еще древнегреческим ученым Пифагором. Согласно с теоремой Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
.
На основании данной теоремы выведена еще одна формула, объясняющая, как найти периметр треугольника по двум известным сторонам. Рассчитать периметр при указанной длине катетов можно, используя следующий способ.
.
Чтобы узнать периметр, имея информацию о размере одного катета и гипотенузы, нужно определить длину второй гипотенузы. С этой целью используют такие формулы:
.
Также периметр описанного вида фигуры определяется и без данных о размерах катетов.
Вам потребуется знать длину гипотенузы, а также угол, прилегающий к ней. Зная длину одного из катетов, если имеется угол, прилегающий к нему, периметр фигуры рассчитывают по формуле:
.
Расчет через высоту
Рассчитать периметр таких категорий, как равнобедренные и прямоугольные треугольники, можно через показатель их средней линии. Как известно, высота треугольника разделяет его основание пополам. Таким образом, она образует две прямоугольных фигуры. Далее, нужный показатель вычисляется при помощи теоремы Пифагора. Формула будет иметь следующий вид:
.
Если известна высота и половина основания, используя этот способ, вы получите нужное число без поиска остальных данных о фигуре.
Полезное видео: нахождение периметра треугольника
Прямоугольный треугольник — это частный вид произвольного треугольника. Как и любой другой треугольник он имеет три стороны, но один из его углов обязательно должен составлять 90 градусов. Ка только вы определили, что заданный треугольник является прямоугольным, можно приступить к нахождению его основных величин. Одной из характеристик прямоугольного треугольника является его периметр. Нахождению периметра прямоугольного треугольника посвящено много задач по геометрии. Перед тем как мы рассмотрим основные способы нахождения периметра прямоугольного треугольника, хотелось бы напомнить, что периметр любой геометрической фигуры на плоскости равен сумме длин все ее сторон. Для все видов треугольников данное утверждение можно записать в виде следующего выражения:
где P - периметр треугольника;
a, b, c - стороны треугольника.
В прямоугольном треугольнике, как уже было сказано выше присутствует отличительная особенность в виде одного из углов, составляющего 90 градусов. Две стороны треугольника, прилегающие к данному углу называют катетами. Противоположную прямому углу сторону принято называть гипотенузой.
Необычные свойства прямоугольного треугольника было открыто Пифагором, который обнаружил, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов, что может быть записано в виде выражения:
Прямоугольный треугольник — это частный вид произвольного треугольника. Как и любой другой треугольник он имеет три стороны, но один из его углов обязательно должен составлять 90 градусов. Ка только вы определили, что заданный треугольник является прямоугольным, можно приступить к нахождению его основных величин. Одной из характеристик прямоугольного треугольника является его периметр. Нахождению периметра прямоугольного треугольника посвящено много задач по геометрии.
Где P - периметр треугольника;
A, b, c - стороны треугольника.
Исходя из теоремы Пифагора появилась возможность определять периметр прямоугольного треугольника по его двум любым сторонам известной длины. Если известны длины катетов, то периметр треугольника определяется через нахождение величины гипотенузы по формуле:
Если известен только один из катетов и длина гипотенузы, то периметр треугольника определяется через нахождение величины недостающего катета по формуле:
Если в прямоугольном треугольнике известна только длина гипотенузы с и один из прилегающих к ней острых углов α, то периметр треугольника в данном случае может быть определен по формуле:
В том случае, когда условиями задачи задана длина катета a и величина противолежащего ему острого угла α, то периметр прямоугольного треугольника в данном случае вычисляется по формуле:
Если же задан катет a с прилежащим к нему углом β, то периметр треугольника может быть рассчитан на основе выражения:
P = a + b + c, где, допустим,
P = v(a2 + b2) + a + b, или
P = v(c2 – b2) + b + с.
P = (1 + sin? + cos?)*с.
P = a*(1/tg? + 1/sin? + 1)
P = a*(1/сtg? + 1/cos? + 1)
Другие новости по теме:
Как найти периметр прямоугольного треугольника
Прямоугольным треугольником считается такой треугольник, один из углов которого равен 90 градусам, а два других являются острыми углами. Расчет периметра такого треугольника будет зависим от количества известных о нем данных.
В зависимости от случая, знание двух из трех сторон треугольника, а также одного из его острых углов.
Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как найти периметр прямоугольного треугольника» Как найти площадь поверхности пирамиды Как найти периметр если известна площадь Как найти периметр равностороннего треугольника
Способ 1.Если известны все три стороны треугольника, то, независимо от того, прямоугольный ли треугольник или нет, его периметр будет рассчитан так:
P = a + b + c, где, допустим,
Способ 2. Если в прямоугольнике известны только 2 стороны, то, используя теорему Пифагора, периметр этого треугольника можно рассчитать по формуле:
P = v(a2 + b2) + a + b, или
P = v(c2 – b2) + b + с.
Способ 3. Пусть в прямоугольном треугольнике даны гипотенуза c и острый угол?, то найти периметр можно будет таким образом:
P = (1 + sin? + cos?)*с.
Способ 4. Дано, что в прямоугольном треугольнике длина одного из катета равна a, а напротив него лежит острый угол?. Тогда расчет периметра этого треугольника будет вестись по формуле:
P = a*(1/tg? + 1/sin? + 1)
Способ 5. Пускай нам известен катет a и прилежащий к нему угол?, тогда периметр будет рассчитан так:
P = a*(1/сtg? + 1/cos? + 1)
Другие новости по теме:
Площадь и периметр — основные числовые характеристики любых геометрических фигур. Нахождение этих величин упрощается благодаря общепринятым формулам, согласно которым можно также вычислить одно через другое с минимумом или полным отсутствием дополнительных начальных данных. Спонсор размещения P&G
Равносторонний треугольник наряду с квадратом является, пожалуй, самой простой и симметричной фигурой в планиметрии. Разумеется, все соотношения, справедливые для обычного треугольника, верны также и для равностороннего. Однако для правильного треугольника все формулы становятся намного проще. Вам
Периметр треугольника, как и любой другой плоской геометрической фигуры, составляет сумма длин ограничивающих его отрезков. Поэтому, чтобы вычислить длину периметра, надо знать длины его сторон. Но в силу того, что длины сторон в геометрических фигурах связаны определенными соотношениями с
Прямоугольным считается такой треугольник, у которого один из углов прямой. Сторона треугольника, расположенная напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами. Чтобы найти длины сторон прямоугольного треугольника, можно воспользоваться несколькими способами. Спонсор
Периметр любой геометрической фигуры, в том числе треугольника, равен совокупной длине границ этой фигуры. Он обозначается заглавной латинской буквой P и легко находится методом сложения длин всех сторон данной фигуры. Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как вычислить периметр треугольника»
Треугольник — это многоугольник, имеющий три стороны и три угла. Как же вычислить его периметр? Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как находить периметр треугольника» Как найти периметр треугольника, заданного координатами своих вершин Как найти площадь треугольника Как найти длину и ширину
Гипотенуза – самая длинная сторона прямоугольного треугольника. Она расположена противоположно прямому углу. Способ нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника зависит от того, какими исходными данными вы обладаете. Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как найти гипотенузу треугольника» Как
Прямоугольный треугольник характеризуется определенными соотношениями между углами и сторонами. Зная значения одних из них, можно вычислять другие. Для этого используются формулы, основанные, в свою очередь, на аксиомах и теоремах геометрии. Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как определить
Казалось бы, что может быть проще, чем вычисление площади и периметра треугольника – измерил стороны, поставил цифры в формулу – и все. Если вы так считаете, значит, забыли, что для этих целей существует не две простенькие формулы, а гораздо больше – для каждого вида треугольника – своя. Вам
Периметр треугольника – сумма длин его сторон. Найти периметр треугольника часто требуется как в задачах начальной геометрии, так и в более трудных заданиях. При их решении недостающие величины находят из других данных. Основные зависимости периметра треугольника от его других измерений отражены в
Прямоугольным треугольником считается такой треугольник, один из углов которого равен 90 градусам, а два других являются острыми углами. Расчет периметра такого треугольника будет зависим от числа знаменитых о нем данных.
Вам понадобится
- В зависимости от случая, умение 2-х из 3 сторон треугольника, а также одного из его острых углов.
Инструкция
1. Метод 1.Если знамениты все три стороны треугольника , то, самостоятельно от того, прямоугольный ли треугольник либо нет, его периметр будет рассчитан так:P = a + b + c, где, возможен,c – гипотенуза;a и b – катеты.
2. Метод 2. Если в прямоугольнике вестимы только 2 стороны, то, применяя теорему Пифагора, периметр этого треугольника дозволено рассчитать по формуле:P = v(a2 + b2) + a + b, илиP = v(c2 – b2) + b + с.
3. Метод 3. Пускай в прямоугольном треугольнике даны гипотенуза c и острый угол?, то обнаружить периметр дозволено будет таким образом:P = (1 + sin ? + cos ?)*с.
4. Метод 4. Дано, что в прямоугольном треугольнике длина одного из катета равна a, а наоборот него лежит острый угол?. Тогда расчет периметра этого треугольника будет вестись по формуле:P = a*(1/tg ? + 1/sin ? + 1)
5. Метод 5. Пускай нам вестим катет a и прилежащий к нему угол?, тогда периметр будет рассчитан так:P = a*(1/сtg ? + 1/cos ? + 1)
Видео по теме
Периметр – это величина, подразумевающая длину всех сторон плоской (двумерной) геометрической фигуры. Для разных геометрических фигур существуют разные способы нахождения периметра.
В данной статье вы узнаете как находить периметр фигуры разными способами, в зависимости от известных его граней.
Возможные методы:
- известны все три стороны равнобедренного или любого другого треугольника;
- как найти периметр прямоугольного треугольника при двух известных его гранях;
- известны две грани и угол, который расположен между ними (формула косинусов) без средней линии и высоты.
Первый метод: известны все стороны фигуры
Как находить периметра треугольника, когда известны все три грани
, необходимо использовать следующую формулу: P = a + b + c, где a,b,c – известные длины всех сторон треугольника, P – периметр фигуры.
Например, известны три стороны фигуры: a = 24 см, b = 24 см, c = 24 см. Это правильная равнобедренная фигура, чтобы вычислить периметр пользуемся формулой: P = 24 + 24 + 24 = 72 см.
Данная формула подходит к любому треугольнику , необходимо просто знать длины всех его сторон. Если хотя бы одна из них неизвестна, необходимо воспользоваться другими способами, о которых мы поговорим ниже.
Еще один пример: a = 15 см, б = 13 см, c = 17 см. Вычисляем периметр: P = 15 + 13 + 17 = 45 см.
Очень важно помечать единицу измерения в полученном ответе. В наших примерах длины сторон указаны в сантиметрах (см), однако, существуют разные задачи, в условиях которых присутствуют другие единицы измерения.
Второй метод: прямоугольный треугольник и две известные его стороны
В том случае, когда в задании, которое нужно решить, дана прямоугольная фигура, длины двух граней которой известны, а третья нет, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора.
Описывает соотношение между гранями прямоугольного треугольника. Формула, описываемая этой теоремой, является одной из самых известных и наиболее часто применяемых теорем в геометрии. Итак, сама теорема:
Стороны любого прямоугольного треугольника описываются таким уравнением: a^2 + b^2 = c^2, где а и b – катеты фигуры, а c – гипотенуза.
- Гипотенуза . Она всегда расположена противоположно прямому углу (90 градусов), а также является самой длинной гранью треугольника. В математике принято обозначать гипотенузу буквой c.
- Катеты – это грани прямоугольного треугольника, которые относятся к прямому углу и обозначаются буквами а и b. Один из катетов одновременно является и высотой фигуры.
Таким образом, если условиями задачи заданы длины двух из трех граней такой геометрической фигуры, с помощью теоремы Пифагора необходима найти размерность третьей грани, после чего воспользоваться формулой из первого метода.
Например, мы знаем длину 2-х катетов: a = 3 см, b = 5 см. Подставляем значения в теорему: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c^2 => c = 5 см. Итак, гипотенуза такого треугольника равна 5 см. К слову, данный пример является самым распространенным и называется . Иными словами, если два катета фигуры равны 3 см и 4 см, то гипотенуза составит 5 см соответственно.
Если неизвестна длина одного из катетов, необходимо преобразовать формулу следующим образом: c^2 – a^2 = b^2. И наоборот для другого катета.
Продолжим пример. Теперь необходимо обратиться к стандартной формуле поиска периметра фигуры: P = a + b + c. В нашем случае: P = 3 + 4 + 5 = 12 см.
Третий метод: по двум граням и углу между ними
В старшей школе, а также университете, чаще всего приходится обращаться именно к данному способу нахождения периметра. Если условиями задачи заданы длины двух сторон, а также размерность угла между ними, то необходимо воспользоваться теоремой косинусов .
Данная теорема применима абсолютно к любому треугольнику, что и делает ее одной из наиболее полезных в геометрии. Сама теорема выглядит следующим образом: c^2 = a^2 + b^2 – (2 * a * b * cos(C)), где a,b,c – стандартно длины граней, а A,B и С – это углы, которые лежат напротив соответствующих граней треугольника. То есть, A – угол, противолежащий стороне a и так далее.
Представим, что описан треугольник, стороны а и б которого составляют 100 см и 120 см соответственно, а угол, лежащий между ними, составляет 97 градусов. То есть а = 100 см, б = 120 см, C = 97 градусов.
Все, что нужно сделать в данном случае – это подставить все известные значения в теорему косинусов. Длины известных граней возводятся в квадрат, после чего известные стороны перемножаются между друг другом и на два и умножаются на косинус угла между ними. Далее, необходимо сложить квадраты граней и отнять от них второе полученное значение. Из итоговой величины извлекается квадратный корень – это будет третья, неизвестная до этого сторона.
После того как все три грани фигуры известны, осталось воспользоваться уже полюбившейся нам стандартной формулой поиска периметра описываемой фигуры из первого метода.
Прямоугольный треугольник - простая, но крайне важная для математики фигура. Знание о его свойствах и умение оперировать основными параметрами прямоугольного треугольника позволит вам справиться как со школьными, так и с реальными задачами.
Геометрия прямоугольного треугольника
Геометрически треугольник - это три точки, не лежащие на одной прямой, которые соединены между собой отрезками. Прямоугольный треугольник - фигура, две стороны которой образуют прямой угол. Эти стороны называются катетами треугольника, а третья, самая длинная сторона, носит название гипотенузы. Соотношение квадратов катетов и гипотенузы устанавливает теорема Пифагора - одна из фундаментальных теорем евклидовой геометрии.
Соотношения гипотенузы и катетов также положили основу для целого раздела математики - тригонометрии. Изначально синусы и косинусы определялись как функции углов прямоугольного треугольника, но в современном значении тригонометрические функции расширены на всю числовую ось. Сегодня тригонометрия используется во многих областях человеческой деятельности: от астрономии и океанографии до анализа финансовых рынков и разработки компьютерных игр.
Прямоугольный треугольник в реальности
Непосредственно прямоугольный треугольник встречается в реальности на каждом углу, как в прямом, так и в переносном смысле. Форму прямоугольного треугольника имеют грани тетраэдров и призм, которые в реальности превращаются в детали машин, керамическую плитку или скаты крыш. Угольник - чертежный инструмент, с которым человек впервые встречается на уроке геометрии, имеет форму именно прямоугольного треугольника и используется в проектировании, строительстве и столярном деле.
Периметр треугольника
Периметр - это численная оценка длин всех сторон плоской геометрической фигуры. Периметр n-угольника находится как сумма длин n сторон. Для определения периметра прямоугольного треугольника используется простая формула:
a и b – катеты, c – гипотенуза.
Вычисляя периметр треугольника вручную, вам пришлось бы измерять все три стороны, проводить дополнительные тригонометрические операции или вычисления по теореме Пифагора. Используя онлайн-калькулятор вам достаточно узнать следующие пары переменных:
- два катета;
- катет и угол;
- гипотенуза и угол.
В школьных задачах или на практике вам будут заданы исходные данные, поэтому калькулятор позволяет найти периметр, зная разные пары параметров. Кроме того, инструмент автоматически рассчитывает все остальные атрибуты прямоугольного треугольника, то есть длины всех сторон и величины всех углов. Рассмотрим пару примеров.
Примеры из жизни
Школьная задача
Пусть в школьной задаче вам задан прямоугольный треугольник с длиной катета равным 5 см и прилежащим углом, величина которого составляет 60 градусов. Требуется найти периметр геометрической фигуры. Онлайн-калькулятор сопровождается рисунком, на котором изображены стороны и углы прямоугольного треугольника. Мы видим, что если катет a = 5 см, то его прилежащий угол - это угол бета. Это важный момент, так как если вы используете для расчетов угол альфа, то результат будет неверным. Вбиваем эти данные в форму и получаем ответ в виде:
Помимо непосредственно периметра, наша программа также определила величину противолежащего угла, а также длину второго катета и гипотенузы.
Обустройство клумбы
Допустим, вы хотите сделать ограду для клумбы, которая имеет форму прямоугольного треугольника. Для этого вам необходимо узнать периметр фигуры. Конечно, в реальности вы можете просто замерить все три стороны, но легко упростить себе задачу и измерить только два катета. Пусть они имеют длину 8 и 15 метров. Вбиваем эти данные в форму калькулятора и получаем ответ:
Итак, вам понадобится закупить материалы для обустройства 40 метров ограды. Наш калькулятор также подсчитал длину гипотенузы - 17 метров. Числа 8, 15 и 17 составляют пифагорову тройку - натуральные числа, которые удовлетворяют условиям теоремы Пифагора.
Заключение
Прямоугольные треугольники получили широкое распространение в повседневности, поэтому определение площади или периметра геометрической фигуры наверняка пригодится вам при решении школьных задач или бытовых вопросов.